Grande Encyclopédie Larousse 1971-1976Éd. 1971-1976
C

Conifères (suite)

Comme espèces servant au reboisement, on peut citer de nombreux Pins : le Pin sylvestre, très répandu dans toute l’Europe ; le Pin à crochets, qui résiste dans les conditions rudes des montagnes européennes ; le Pin Laricio, dont on remarque trois races géographiques (les Pins d’Autriche, de Corse et de Salzmann, ce dernier se localisant dans les Pyrénées orientales, l’Espagne et l’Afrique du Nord) ; le Pin d’Alep, vivant surtout dans tout le Bassin méditerranéen, et le Pin maritime, qui a servi au peuplement des Landes au xixe s.

D’autres genres et espèces servent également, en premier lieu les Sapins, entre autres Abies pectinata, assez abondant dans les montagnes françaises mais aussi en Europe centrale et dans les Balkans ; Abies pinsapo et A. numidica, qui sont surtout utilisés dans les basses montagnes des régions méditerranéennes, et Abies grandis, originaire de l’ouest des États-Unis (Vancouver), qui donne de bons résultats dans le Massif central et en Bretagne ; puis Pseudotsuga Douglasii (douglas), qui est une espèce très fréquente en Amérique du Nord, divers Épicéas et Mélèzes, ainsi que les Cèdres de l’Atlas, qui, malgré des difficultés d’implantation dans les premières années, donnent des résultats parfois remarquables dans les basses montagnes méditerranéennes.

Enfin, quoique plus fréquemment employés comme arbres d’ornement, on peut citer en particulier les Thuyas, les Chamaecyparis, les Séquoias et les Cyprès chauves (Taxodium), qui vivent dans les marécages peu profonds et qui possèdent de curieuses racines pneumatophores dont certaines excroissances sortent à l’air libre de la vase, tous arbres de l’Amérique du Nord. Une mention doit être faite du Cyprès de Lambert, dont le peuplement d’origine est particulièrement réduit sur la côte californienne mais qui est maintenant une espèce extrêmement répandue sur les côtes atlantiques, où il sert d’arbre d’ornement et de coupe-vent.

J.-M. T. et F. T.

 L. Pardé, les Conifères (La Maison Rustique, 1937 ; nouv. éd., 1948). / V. Chaudun, Conifères d’ornement (La Maison Rustique, 1956). / J. Pourtet, les Repeuplements artificiels (École nationale des eaux et forêts, Nancy, 1965). / C. Testu, Conifères de nos jardins (La Maison Rustique, 1970).

conique

Toute courbe plane d’équation cartésienne
f(xy) ≡ Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
à coefficients réels, dans une base quelconque Oxy. On dit aussi courbe du second degré.



Classification des courbes du second degré

Le déterminant de la matrice y joue un rôle :

• si Δ ≠ 0, la conique est véritable, ou non dégénérée ;

• si Δ = 0, la conique est dégénérée en deux droites.

Dans les deux cas, on classe la conique suivant la réalité de ses points à l’infini ou de ses directions asymptotiques. L’équation Cm2 + 2Bm + A = 0 donne les coefficients directeurs de ces directions asymptotiques. Par suite :

• si B2 – AC > 0, il y a deux directions asymptotiques réelles ;

• si B2 – AC < 0, il y a deux directions asymptotiques imaginaires ;

• si B2 – AC = 0, il y a deux directions asymptotiques confondues.

Cela conduit à la classification suivante :
En regroupant les résultats suivant le signe de B2 – AC, on obtient une classification des coniques en genre :

L’ellipse et l’hyperbole sont les seules coniques véritables ayant un centre de symétrie : ce sont les coniques à centre non dégénérées. Les coordonnées x0 et y0 d’un centre d’une conique vérifient le système fx′ (xy) = 0, fy′ (xy) = 0, fx′ et fy′ étant les dérivées partielles de f (xy) respectivement par rapport à x et à y, ce qui permet la recherche du centre d’une conique à centre.


Exemples d’équations de coniques

1o – 2x2 + y2 + 12x + 4y + 4 = 0 ;  : la conique est non dégénérée ; les pentes des directions asymptotiques sont les racines de l’équation m2 – 2 = 0, c’est-à-dire le centre a des coordonnées qui vérifient le système – 2x + 6 = 0, y + 2 = 0, dont la solution est x0 = 3, y0 = – 2 ; la conique est une hyperbole dont l’équation s’écrit (y + 2)2 – 2(x – 3)2 + 18 = 0, ce qui met en évidence la nature, le centre et les asymptotes de la conique.

2o 2x2 + y2 + 12x + 4y = 0 est l’équation d’une ellipse réelle. En effet, les directions asymptotiques, données par m2 + 2 = 0, sont imaginaires. D’autre part, l’équation se met sous la forme 2(x + 3)2 + (y + 2)2 – 22 = 0 ; il y a donc des points réels ; le centre a pour coordonnées x0 = – 3, y0 = – 2.

3o x2 + 2xy + y2 + x – y = 0 est l’équation d’une parabole, parce qu’elle s’écrit (x + y)2 + x – y = 0 et qu’ainsi B2 – AC = 0, sans que la conique soit dégénérée en deux droites parallèles.

4o x2 – y2 = 0, qui se décompose sous la forme (x – y)(x + y) = 0, est l’équation des deux droites concourantes x – y = 0 et x + y = 0.

5o x2 + 2xy + y2 + x + y = 0 est l’équation de deux droites parallèles, car elle s’écrit (x + y)2 + x + y = 0 ou (x + y)(x + y + 1) = 0, ce qui donne les deux droites x + y = 0 et x + y + 1 = 0.

6o x2 + 2y2 + 3 = 0 est l’équation d’une ellipse imaginaire, car les directions asymptotiques sont imaginaires (2m2 + 1 = 0) et il n’existe aucun point à coordonnées réelles x0 et y0 tel que x20 + 2y20 + 3 = 0. En revanche, il existe des points à coordonnées complexes sur la courbe d’équation x2 + 2y2 + 3 = 0, par exemple le point d’où le nom d’ellipse imaginaire.