Éd. 1971-1976

Binet (Alfred) (suite)

Ce test mental s’adresse à l’intelligence considérée comme une aptitude globale innée ; pour cela sont écartées soigneusement les épreuves pouvant faire appel à un quelconque apprentissage (comme les connaissances scolaires) et que les individus possèdent à des degrés divers. Il est composé d’épreuves de difficultés croissantes groupées par âges successifs de trois ans à treize ans. Une épreuve est caractéristique d’un âge donné si elle est réussie par la moyenne des enfants de cet âge. L’intelligence se trouve ainsi définie opérationnellement : c’est le niveau auquel se situe un individu par rapport à son groupe d’âge, ce qui permet à Binet de proposer une unité, l’âge mental. On dit qu’un enfant de cinq ans a un niveau intellectuel normal s’il a cinq ans d’âge mental, c’est-à-dire s’il a réussi toutes les épreuves de cinq ans et aucune d’un niveau supérieur. Si ce même enfant ne peut réussir que les épreuves de quatre ans, son âge mental est de quatre ans et il présente un retard intellectuel.

L’idée d’une mesure de l’intelligence se trouvait déjà chez Francis Galton (1889), mais celui-ci pensait que l’on pouvait l’appréhender à travers ses manifestations les plus simples, comme la discrimination sensorielle ; Binet préfère une appréhension directe, même élémentaire des processus supérieurs ; il utilise une multitude d’épreuves permettant d’envisager toute l’étendue du champ de l’intelligence.

La valeur diagnostique du test de Binet et Simon est vérifiée par la bonne corrélation entre le résultat d’un enfant au test et le jugement de l’instituteur sur cet enfant. Cette échelle, remaniée par Binet sur des points de détail en 1908 et 1911, a tout de suite connu un grand succès en France, mais également en Angleterre et aux États-Unis, où Lewis M. Terman en a fait de nombreuses adaptations. En France, l’adaptation la plus récente est celle de René Zazzo (1968), et, sous cette forme, le test de Binet et Simon est encore largement utilisé, ce qui montre l’intérêt historique et aussi actuel de l’œuvre de Binet.

A. D.

➙ Intelligence / Sensation / Tests mentaux.

F. Zuza, Alfred Binet et la pédagogie expérimentale (Vrin, 1948). / M. Reuchlin, Histoire de la psychologie (P. U. F., coll. « Que sais-je ? », 1957 ; 8^e éd., 1972). / Revue de psychologie appliquée (numéro spécial, t. VII, 1957). / G. Avanzini, la Contribution de Binet à l’élaboration d’une pédagogie scientifique (Vrin, 1969).

binomiale (loi)

Loi d’une variable aléatoire discrète X susceptible de prendre toute valeur entière k de l’ensemble {0, 1, 2, ..., n} avec la probabilité p étant un nombre compris entre 0 et 1 et q = 1 – p.

Généralités

Le coefficient , noté aussi , est donné par

avec p! = 1.2 ... (p – 1) p ; il intervient dans le développement du binôme de Newton, et l’on a

car p + q = 1. La dernière égalité traduit le fait que la somme des probabilités correspondant aux différentes valeurs possibles de X est égale à 1 et que l’on a bien, ainsi, une loi de probabilité. Les nombres n et p sont les paramètres de la loi.

Exemple : et n = 3 ; on obtient la loi de probabilité suivante :

car

. Cette loi particulière est celle de la variable aléatoire X égale, par exemple, au nombre de piles amenées par une pièce de monnaie au jeu de pile ou face en trois coups.

De façon générale, la loi binomiale de paramètres n et p est la loi d’une variable aléatoire X égale au nombre de succès pouvant être obtenus au cours de n épreuves successives et indépendantes, la probabilité de succès à chaque épreuve étant égale à p et la probabilité d’échec étant, par suite, égale à q = 1 – p. La nature du succès que l’on peut obtenir à chaque épreuve est d’ailleurs sans importance, et les mots succès et échec ne sont là que pour indiquer les deux issues incompatibles d’une alternative. En effet, pour obtenir k succès et n – k échecs au cours de n épreuves successives et indépendantes, on peut obtenir k succès au cours des k premières épreuves et n – k échecs au cours des suivantes, la probabilité d’un tel événement étant p^kq^n–k. Mais il est possible de répartir les k succès et les n – k échecs de façons différentes parmi les n épreuves successives, car chaque répartition correspond à une partie à k éléments prise dans un ensemble à n éléments, et le nombre de ces parties est . Les événements correspondant aux répartitions ayant tous la même probabilité, p^kq^n–k, la probabilité de k succès en n épreuves est donc égale à

Notation

La variable aléatoire dont la loi de probabilité est la loi binomiale de paramètres n et p est appelée variable binomiale et notée ℬ (n, p) ou B (n, p).

Cas particulier : variable de Bernoulli

C’est une variable binomiale qui peut prendre les valeurs 0 ou 1 avec les probabilités respectives q et p = 1 – q. Le nombre n des épreuves est égal à 1. Cette variable est notée ℬ (1, p). On peut alors considérer la variable binomiale X = ℬ (n, p) comme la somme de n variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre p, car le nombre de succès obtenus en n épreuves est égal à la somme des succès obtenus séparément dans chaque épreuve de Bernoulli. On note ainsi

Il en résulte que la somme de deux variables binomiales indépendantes de même paramètre p est aussi une variable binomiale de paramètre p. En effet,

On peut généraliser à une somme finie de variables binomiales indépendantes.

Calcul pratique de Pr { X = k }. Tables de la loi binomiale

Le calcul direct de n’est en général pas aisé. On calcule de proche en proche, en utilisant le rapport , les différentes valeurs de P_k. Ce rapport a pour valeur

comme on peut le voir en explicitant et en fonction de n et de k. On peut alors construire des tables de la loi binomiale, pour différentes valeurs de n et p, avec