série numérique (suite)
Exemples de détermination de rayons de convergence.
1. quand n → + ∞, R = + ∞ ; la série converge pour tout z ∈ ℂ.
2.
3. pour z ≠ 0 ; la série ne converge que pour z = 0.
Fonctions développables en série entière
Une fonction f (z) de la variable complexe z est développable en série entière dans un voisinage V de l’origine s’il existe une suite (an) de nombres complexes telle que, pour tout z ∈ V, on ait :
on note
Les coefficients de cette série sont les coefficients de la série de Taylor de la fonction f :
On peut calculer des développements en séries entières en intégrant, terme à terme, des développements en séries entières connus, le rayon de convergence d’une série entière et de la série intégrée terme à terme étant le même. Ainsi, pour |z| < 1,
Comme la dérivée de Log (1 + z) est on en déduit le développement en série de Log (1 + z)
pour |z| < 1.
Si, pour |z| < R, la fonction f admet, au voisinage de l’origine, un développement limité donné par
0 (zn) désignant une fonction de z tendant vers zéro avec z.
E. S.
Deux grands noms de la théorie des séries
Joseph Fourier
(Auxerre 1768 - Paris 1830). Orphelin de très bonne heure, il fait ses premières études à l’école militaire d’Auxerre. Élève de l’École normale de l’an III, il est, à la fondation de l’École polytechnique, l’un des premiers membres du corps enseignant, professant l’analyse et la mécanique. Nommé secrétaire perpétuel de l’Institut d’Égypte, il est, a son retour en France, préfet de l’Isère (1802) et reçoit le titre de baron. Entre en 1817 à l’Académie des sciences, il en devient en 1822 le secrétaire perpétuel pour les sciences mathématiques. En 1826, il est élu à l’Académie française, et les dernières années de sa vie sont entièrement consacrées à la science et a ses devoirs d’académicien. Fourier est le premier physico-mathématicien. Ses études sur la propagation de la chaleur, entreprises avant 1807, l’amenèrent à étudier les séries trigonométriques qui portent son nom et qui ont joue un rôle considérable dans le développement des mathématiques modernes, en particulier dans la constitution de la théorie des ensembles. En algèbre, il précisa en 1796, puis de nouveau en 1820, la règle de Descartes relative au nombre des racines positives d’une équation. Son propre résultat fut amélioré en 1829 par Charles Sturm (1803-1855).
Colin Maclaurin
(Kilmodan, Argyllshire, 1698 - Édimbourg 1746). Étudiant à l’université de Glasgow, il enseigne à dix-neuf ans les mathématiques à Aberdeen, puis à Édimbourg. Disciple de Newton, il a étudié la description organique des courbes et leurs propriétés (1719). Son Traité des fluxions (1742) contient notamment la formule du développement en série entière d’une fonction qui porte son nom. Elle est intimement liée à la série de Taylor, trouvée en 1715 par le mathématicien anglais Brook Taylor (1685-1731).
J. I.