Éd. 1971-1976

série chronologique (ou chronique) (suite)

D’autres méthodes empiriques fondées sur les mêmes hypothèses ont été proposées, par exemple, la méthode des chaînes de rapports, basée sur les rapports successifs Dans l’hypothèse d’une tendance caractérisée par un facteur 1 + α d’accroissement mensuel, ces rapports donneront pour chaque mois k une estimation de la quantité

dont on déterminera la médiane. Le produit de ces 12 médianes, (1 + α)¹², permettra d’estimer 1 + α. Connaissant alors les 12 rapports et tenant compte de la condition

on pourra estimer les 12 coefficients saisonniers
1 + s_k (k = 1, 2, ..., 12).

Compte tenu de la définition de la composante saisonnière (somme des effets nulle pour chaque ensemble de 12 mois), on devrait avoir

soit pratiquement

si T_k varie peu au cours d’une année. En général, il n’en sera pas ainsi et on devra faire subir aux estimations une correction proportionnelle pour assurer ces conditions.

Toutes ces méthodes fournissent, en général, une solution pratiquement suffisante du problème de l’étude des variations saisonnières dans les séries économiques. Cependant, dans certains cas et plus particulièrement dans d’autres domaines de la recherche scientifique, l’étude des cycles joue un rôle fondamental, soit qu’il s’agisse d’estimer au mieux les caractéristiques moyennes d’un cycle unique (période et forme), soit qu’il s’agisse de mettre en évidence plusieurs composantes périodiques différentes se superposant. Pour le premier problème, la table de Christophorus Buys-Ballot (1817-1890), météorologiste hollandais, fournit une solution empirique approchée : pour chaque valeur essayée de la durée θ de la période, les données sont présentées dans un tableau dont chaque ligne contient les observations successives d’une même période de durée θ, et chaque colonne contient les observations relatives à un même instant des diverses périodes ; si θ correspond à la période réelle, tous les sommets du cycle sont dans une même colonne et tous les fonds dans une autre colonne, de manière que l’écart entre les totaux de ces colonnes soit maximal.

Pour des problèmes plus complexes, par exemple l’étude des variations du nombre de taches solaires, les méthodes de l’analyse harmonique fondées sur les travaux du mathématicien français Joseph Fourier (1768-1830) permettent de mettre en évidence les effets des diverses composantes périodiques en fonction de leurs périodes θ (périodogramme).

L’étude des séries chronologiques peut conduire à de nombreux autres problèmes : relation entre termes d’une même série, décalés d’un certain nombre de rangs (autocorrélation), comparaison de deux séries soit du point de vue de leur tendance (covariation tendancielle), soit du point de vue des écarts à leurs lignes de tendance (covariation différentielle), pour des termes de même rang ou décalés d’un certain nombre de rangs. Tous ces problèmes relèvent du calcul des corrélations.

E. M.

➙ Ajustement statistique / Corrélation / Régression.

A. Piatier, Statistique et observation économique (P. U. F., 1961 ; 2 vol.). / E. Malinvaud, Méthodes statistiques de l’économétrie (Dunod, 1964 ; 2^e éd., 1969).

série numérique

Couple constitué d’une suite (u_n) d’éléments du corps ℂ des nombres complexes et de la suite (S_n) telle que, pour tout entier naturel n :
S_n = u₀ + u₁ + ··· + u_n.

Généralités

L’élément u_n de la suite (u_n) est appelé le terme général de la série ; la somme S_n est la somme à l’ordre n. La limite, S, de la suite (S_n), si elle existe, s’appelle la somme de la série de terme général u_n. Dans ce cas, la différence S — S_n est le reste à l’ordre n de la série. Pratiquement, on désigne une série par son terme général u_n. Si la limite S existe, la série u_n est dite convergente ; si on ne peut trouver de limite à la suite S_n, la série est dite divergente.

Le problème des séries est l’étude de leur convergence ou de leur divergence. Cette étude ne peut pas toujours se faire directement sur la somme partielle S_n par de simples transformations algébriques. Dans beaucoup de cas, il est nécessaire de comparer la série à étudier, u_n, avec une autre série, v_n, dont on connaît la nature (divergente ou convergente). Ces comparaisons se font à l’aide de règles ou de critères dont certains ont un champ d’application assez étendu et constituent un arsenal nécessaire à toute approche de série. Le problème des séries revient donc à trouver, pour l’étude d’une série donnée, un critère qui permette de conclure sur la nature de la série.

Si la série u_n est à termes complexes ou à termes réels négatifs, ou encore à termes réels de signes quelconques, on étudie la série |u_n| = v_n, formée des modules des termes de la série u_n. Si la série v_n converge, on dit que la série u_n est absolument convergente. En effet, si

la dernière inégalité étant vraie puisque la série v_n = |u_n| est convergente et qu’ainsi la condition de Cauchy est vérifiée pour la suite

Comme pour p > n > n₀, la suite S_n est aussi une suite de Cauchy et donc converge. Si la série u_n est à termes tous positifs, l’absolue convergence se confond avec la convergence. Une série à termes positifs ne converge que si elle converge absolument.

• Si la série u_n, à termes quelconques, n’est pas absolument convergente, elle peut être divergente ou simplement convergente. Dans ce cas, elle est dite semi-convergente. Ainsi, la convergence absolue est une condition suffisante de convergence, mais ce n’est pas une condition nécessaire.

Séries numériques à termes positifs

L’étude de ces séries est très importante, puisque l’étude de la convergence absolue se ramène à l’étude d’une série à termes positifs. Certaines règles de comparaison permettent d’étudier les séries.