Gödel (théorème de)

Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».

Logique, Philosophie Cognitive

Nom donné aux deux résultats d'incomplétude obtenus par Gödel en 1931 ; selon le premier, pour chaque théorie mathématique T consistante et suffisamment riche (c'est-à-dire contenant au moins un certain fragment élémentaire de l'arithmétique), il existe une formule du langage de T qui est indécidable dans T, c'est-à-dire qui ne peut y être ni prouvée ni réfutée ; selon le second, dans les mêmes conditions, la formule du langage de T qui exprime le fait que T est consistante ne peut être prouvée dans T.

Les résultats d'incomplétude de Gödel reposent sur un argument proche du « paradoxe du Menteur », qui tire une contradiction d'une phrase affirmant sa propre fausseté, et dont découle le fait que le prédicat « vrai dans T » ne peut être exprimé dans le langage de T. Mais la « formule de Gödel pour T », qui affirme sa propre indémontrabilité dans T, peut être, quanta elle, exprimée dans le langage de T sans aucune contradiction. L'écriture de cette formule est obtenue par « arithmétisation de la syntaxe » : à l'inverse de la notion abstraite de vérité, la notion de démonstration dans un système formel, qui est de nature entièrement combinatoire, peut être adéquatement représentée dans un fragment élémentaire de l'arithmétique.

Le premier théorème d'incomplétude donne un exemple de formule arithmétique vraie (dans le « modèle standard ») mais indémontrable dans T : comme ce théorème s'applique à toute théorie du même type, il en résulte qu'aucun système formel ne peut prouver toutes les vérités arithmétiques et rien qu'elles. En d'autres termes, un système comme l'arithmétique de Peano est non seulement incomplet, mais incomplétable.

Le second théorème d'incomplétude montre, quant à lui, l'impossibilité d'atteindre l'objectif que Hilbert s'était fixé, à savoir de donner une preuve « finitiste » de la consistance de l'arithmétique : une théorie arithmétique ne peut prouver sa propre consistance, sauf dans le cas trivial où elle est, justement, inconsistante.

Jacques Dubucs

→ arithmétique, complétude, consistance, décidabilité, démonstration, effectivité