Intersection d'un cône du second degré avec un plan ne contenant pas le sommet.

Classification des coniques

Coniques

Les coniques ont une équation cartésienne de la forme

ax² + 2bxy + cy² + dx + ey + f = 0,

a, b, c non tous nuls.

Les directions asymptotiques de la conique ont pour coefficients directeurs les solutions m de l'équation cm² + 2bm + a = 0.

– b²−ac > 0. La courbe a deux directions asymptotiques distinctes ; c'est une hyperbole si elle n'est pas décomposée en deux droites sécantes.

– b²−ac = 0. La courbe a deux directions asymptotiques confondues ; c'est une parabole si elle n'est pas décomposée en deux droites parallèles.

– b²−ac < 0. La courbe n'a pas de branche infinie ; c'est une ellipse si ce n'est pas l'ensemble vide.

Le centre de symétrie n'existe que pour les ellipses et les hyperboles (b²−ac = 0) et est donné par les équations ax + by + d = 0 et bx + cy + e = 0.

Équations réduites

Par un changement de repère convenable, on peut prendre pour axes de coordonnées les axes de symétrie des ellipses et hyperboles ; les équations deviennent :

– pour l'ellipse  ;

– pour l'hyperbole  ; dont les asymptotes ont pour équation

 ;

– pour la parabole y² = 2px.

Équations paramétriques :

ellipse 

hyperbole 

En prenant comme axes ses asymptotes, l'hyperbole a une équation de la forme XY = k et réciproquement.