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trigonométrie

(latin scientifique trigonometria, du grec trigônon, triangle)

Branche des mathématiques, issue de l'astronomie, qui, en liaison avec la géométrie euclidienne, permet de calculer les mesures des côtés d'un triangle ou de ses angles, à partir de certaines d'entre elles. (On y utilise et étudie en particulier les fonctions circulaires et leurs réciproques.)

Historique

Babyloniens et Égyptiens possédaient des éléments de trigonométrie, relatifs aux observations astronomiques et à la construction des pyramides. Les Grecs élaborèrent une astronomie quantitative destinée à des fins pratiques (détermination de l'heure nocturne pour la navigation). Hipparque d'Alexandrie et Ptolémée étudient systématiquement les relations entre les arcs d'un cercle et les longueurs des cordes sous-tendues. Fondée sur la récente division du cercle en 360°, leur correspondance est équivalente à celle qui donne le sinus du demi-angle au centre. Cela conduit Ptolémée à établir la première table trigonométrique, pour un intervalle de (3/4)°. La trigonométrie indienne approche davantage l'actuelle notion de sinus en associant au demi-arc la demi-corde sous-tendue. La trigonométrie arabe est celle des Indiens, transmise par Thabit ibn Qurra et al-Battani, qui introduisent la tangente, la cotangente, etc. Les Européens ignorent ces résultats jusqu'à Regiomontanus. Les mathématiciens de l'Allemagne du Nord affinent la précision des tables et utilisent pour le rayon un nombre d'unités de plus en plus grand, jusqu'à 1015, afin d'éviter fractions et nombres décimaux. Le sinus reçoit sa signification actuelle et on simplifie les formules, dont F. Viète systématisera l'étude pour le plan et la sphère. Le choix fait par Euler d'un rayon unité et le développement de la notion de fonction ont joué un rôle majeur dans l'intégration progressive de la trigonométrie à l'étude des exponentielles complexes.

Les formules essentielles

Dans un triangle ABC rectangle en A on a les relations suivantes :

Les formules qui suivent sont parmi les plus importantes de la trigonométrie :