Tout anneau unitaire A tel que tout élément de l’ensemble A* = A – {0} possède un inverse dans la multiplication. Si la multiplication est commutative, on dit que le corps est commutatif.
Propriétés fondamentales
1. Dans tout corps K, quel que soit l’élément a ∈ K* = K – {0}, il existe, a′ ∈ K*, unique, tel que aa′ = a′a = 1 ; on note a′ = a–1 ; par suite, l’équation ax = b (a ∈ K et b ∈ K) a une solution unique x = a–1b ; de même ya = b entraîne y = ba–1. 2. L’égalité ab = 0, a et b appartenant à K, implique a = 0 ou b = 0. Dans un corps, il n’y a pas de diviseurs de zéro.
L’étude détaillée de trois corps est fournie par les ensembles de nombres ℚ, ℝ et ℂ.
Étienne Bézout
Mathématicien français (Nemours 1730-Les Basses-Loges, près de Fontainebleau, 1783). Auteur de nombreux manuels de mathématiques longtemps célèbres, examinateur des Écoles militaires depuis 1763, il est en algèbre un des précurseurs de la théorie des déterminants. Il est resté connu en particulier pour l’identité de Bézout, aux termes de laquelle, si, dans un anneau principal, les éléments A et B sont premiers entre eux, il existe deux éléments X et Y tels que AX + BY = 1. Bézout démontre cette identité dans le cas de l’anneau des polynômes sur le corps des complexes, mais Claude Gaspar Bachet de Méziriac (1581-1638) l’avait déjà établie pour l’anneau ℤ des nombres entiers relatifs. (Acad. des sc., 1758.)
J. I.
E. S.
➙ ℂ / Groupe / Opération / ℚ / ℝ / Relation / ℤ.
P. Dubreuil et M.-L. Dubreuil-Jacotin, Leçons d’algèbre moderne (Dunod, 1961). / S. Mac Lane et G. Birkhoff, Algèbre (New York, Londres, 1967).
anneaux d’accumulation ou anneaux de stockage
Accélérateurs* de particules* d’un type spécial.
Adjoints à un accélérateur qui les alimente en paquets de particules déjà accélérées, ces instruments ont pour objet de conserver le plus longtemps possible — durant des heures ou des dizaines d’heures — des particules de grande énergie circulant sur une ou plusieurs orbites fermées, grossièrement circulaires. Cette accumulation de particules peut se faire à énergie constante et dans le seul but d’obtenir un courant de particules de très forte intensité, ou encore avec augmentation de l’énergie. La structure de ces anneaux s’apparente à celle des synchrotrons ; elle comporte des aimants guidant les faisceaux, des lentilles magnétiques et des cavités de radiofréquence.
L’intérêt primordial de ces anneaux est de pouvoir effectuer des collisions entre particules à une énergie effective extrêmement élevée ; d’où le nom d’anneaux de collision qui leur est également donné. En effet, en faisant se rencontrer deux faisceaux de particules accélérées circulant dans des sens opposés, on obtient dans le système du centre de gravité, entre les deux particules en collision ayant chacune l’énergie E, le même échange de quantité de mouvement que l’on obtiendrait en envoyant sur une particule d’une cible au repos, dans le système de référence du laboratoire, une particule accélérée à une énergie beaucoup plus élevée : si m0 est la masse au repos des particules.
Pour des électrons, particules ultrarelativistes à ces énergies, le tableau suivant illustre l’avantage de ces collisions dans le système du centre de gravité :
Les techniques d’intersection diffèrent suivant que l’on désire étudier l’interaction entre deux électrons négatifs, auquel cas il faut un double anneau de stockage pour assurer l’intersection des faisceaux (car, dans le champ magnétique des aimants de l’anneau, des particules de charge de même signe circulent toutes dans le même sens), ou que l’on étudie l’interaction entre un électron négatif et un électron positif, ce qui peut s’effectuer dans un anneau unique. Mais, dans ce dernier cas, les intersections ne se produisent que dans des régions déterminées de l’orbite, car les électrons circulent groupés en petits paquets successifs sous l’action du champ de radiofréquence utilisé pour compenser les pertes d’énergie par rayonnement à chaque tour et même, éventuellement, accroître l’énergie E.
Les principales difficultés tiennent d’une part à la haute qualité du vide requis (de l’ordre de 10–10 à 10–11 torr) pour assurer la conservation prolongée du faisceau tout en réduisant l’effet du rayonnement provoqué par le faisceau, d’autre part aux divers types d’instabilités existant dans les anneaux. Les causes essentielles des pertes d’énergie sont le rayonnement de freinage des particules et l’échange relativiste d’énergie entre deux particules (effet Touschek).
L’injection s’effectue pendant un temps très bref, de manière à ne pas restreindre de façon notable le temps de circulation dans l’anneau utilisable pour les collisions, à partir d’un accélérateur linéaire ou d’un synchrotron.
Les progrès techniques accomplis ont permis d’envisager la construction d’anneaux à des énergies de plusieurs GeV : c’est la nouvelle génération des anneaux d’électrons et de positrons de 3 GeV (Hambourg-S. L. A. C. et peut-être un projet à Orsay) ; ce sont aussi les premiers anneaux de protons, concevables seulement dans cette région d’énergie, où les protons sont très relativistes. En premier heu viennent les anneaux de stockage à intersections « protons-protons » du Cern. Il s’agit de deux anneaux comportant huit intersections. La figure donne le schéma de la disposition des divers instruments parmi lesquels va prendre place cet outil de recherche aux qualités exceptionnelles pour lequel Eeff ≃ 1 600 GeV, E = 28 GeV ; elle fait ressortir ses dimensions, considérant déjà celles du synchrotron à protons lui-même. Le projet le plus audacieux est celui de VAPP-IV de Novossibirsk, destiné à produire des collisions entre des protons et des antiprotons également avec E = 28 GeV.
