Mathématicien et logicien allemand (Königsberg 1862 - Göttingen 1943).
Issu d’une famille de bonne bourgeoisie, il fait la plus grande partie de ses études dans sa ville natale, avec quelques intermèdes à Heidelberg, à Leipzig et à Paris. Durant ces années d’études, il se lie d’une étroite amitié avec Hermann Minkowski (1864-1909), qui fut le professeur de mathématiques d’Albert Einstein*. Après avoir soutenu sa dissertation inaugurale en 1885, il est nommé à Königsberg en qualité de privatdocent (1886-1892), puis comme professeur titulaire (1893-1895). En 1888, il se signale à l’attention du monde scientifique par son travail sur la théorie des invariants. L’abondante littérature consacrée à cette théorie se caractérise alors par une masse de calculs d’où se dégagent difficilement quelques idées générales. Lorsque Hilbert établit ses théorèmes généraux en quelques pages, presque sans calculs, la surprise générale se traduit par l’exclamation de Paul Gordan (1837-1912), le « roi des invariants » : « Ce n’est plus des mathématiques, c’est de la théologie. » Par ce coup de maître, Hilbert amène la disparition quasi totale de cette théorie. Mais, en même temps, il pose les bases d’une nouvelle branche de l’algèbre, la théorie des idéaux de polynômes, qui va, au début du xxe s., renouveler la vieille géométrie algébrique et devenir un des piliers de l’algèbre moderne édifiée par Emmi Noether (1882-1935) et par Emil Artin (1898-1962). Appelé en 1895 à l’université de Göttingen, Hilbert y reste jusqu’à la fin de sa carrière, refaisant de cette université un des premiers centres mathématiques mondiaux. Dès son arrivée, il commence ses recherches, capitales, sur la théorie des corps de nombres algébriques. Le fondateur en était Carl Friedrich Gauss*. Gustav Lejeune-Dirichlet (1805-1859), Ernst Eduard Kummer (1810-1893), Leopold Kronecker (1823-1891) et Richard Dedekind (1831-1916) s’y sont tour à tour illustrés. Mais il restait bien des points à élucider. Hilbert fonde en un tout homogène l’ensemble des résultats acquis et formule des lois générales dont il ne peut cependant vérifier l’exactitude que sur quelques cas particuliers. C’est seulement un quart de siècle plus tard que les lois qu’il avait énoncées furent établies dans le cas le plus général. En théorie analytique des nombres, il donne en 1909 la solution générale du problème de Waring : Déterminer le nombre des représentations d’un nombre comme somme de p puissances k positives. Après s’être montré grand algébriste et grand arithméticien, Hilbert s’attaque à l’analyse au début du xxe s. S’intéressant au calcul des variations, il y ouvre une voie toute nouvelle, appelée depuis méthode directe. Appliquant cette même méthode au célèbre problème de Dirichlet (trouver une fonction harmonique dans un domaine à partir de ses valeurs sur la frontière), il parvient, le premier, à rendre rigoureuse la méthode esquissée par Bernhard Riemann*. Dans ses recherches sur la théorie des équations intégrales, où il prend la suite de Vito Volterra (1860-1940), Henri Poincaré* et Ivar Fredholm (1866-1927), il introduit le premier l’espace à une infinité de dimensions appelé fort justement espace de Hilbert.
Le grand public mathématique et particulièrement les milieux enseignants connaissent surtout David Hilbert par son ouvrage sur les fondements de la géométrie, Grundlagen der Geometrie (1899). Issu de tout un courant d’axiomatisation de la géométrie qu’il résume et clarifie, il contient la première exposition, purement abstraite, totalement axiomatisée, de la vieille géométrie euclidienne. L’indépendance des divers axiomes y est solidement établie, et leur non-contradiction ramenée à celle des axiomes de l’arithmétique. Hilbert s’y révèle comme le chef de l’école axiomatique, à laquelle s’opposeront, en philosophie des mathématiques, les « intuitifs » et les « intuitionnistes ». Au congrès de Paris, en 1900, il pose ou rappelle vingt-trois problèmes fondamentaux, parmi lesquels celui de la non-contradiction des axiomes de l’arithmétique et dont presque la moitié restent encore ouverts.
Enfin, on doit le considérer comme un ferme partisan des théories cantoriennes, dont il écrit, en 1930 : « Du paradis que Cantor a créé pour nous, nul ne doit pouvoir nous chasser. »
J. I.
➙ Algèbre / Arithmétique / Axiomatique (méthode) / Géométrie / Logique.
