vecteur

Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».

Mathématiques

Élément d'un espace vectoriel ; il se distingue essentiellement de la grandeur scalaire associée.

Un espace vectoriel est en effet un ensemble doté d'une structure de groupe commutatif pour une loi additive. Cette addition opère sur les vecteurs. Cet ensemble doit être associé à un corps commutatif doté d'une opération externe, notée multiplicativement et possédant quelques propriétés canoniques. Les éléments de ce corps sont les grandeurs scalaires qui opèrent sur les vecteurs.

Un exemple élémentaire et fondamental d'espace vectoriel est donné par les vecteurs du plan, définis par leur couple de coordonnées. Ces objets peuvent aisément être associés à la représentation qui en fait des segments orientés. Le corps de scalaires associé est naturellement l'ensemble des réels. On a ainsi des opérations internes comme u + v = w et des opérations externes comme x . u = v.

Ce concept mathématique assez récent (il date de Hamilton, en 1865⁽¹⁾) a connu une extension immense et s'est montré particulièrement performant dans la physique moderne, tant relativiste que quantique. Il structure en effet les formalismes essentiels de ces théories en donnant d'ailleurs lieu à des généralisations conceptuelles comme les tenseurs de la relativités et les vecteurs d'état de la physique quantique.

Le vecteur présente un exemple remarquable où une notion est à l'œuvre avant d'être explicitement constituée en concept. Dans les Principia de Newton par exemple, on a bien affaire à une application vectorielle des forces (dans les corollaires suivants les sections 1 et 2)⁽²⁾.

Vincent Jullien