transitivité

Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».

Mathématiques

Caractère de ce qui est transitif. Soit un ensemble E et une relation « R ». R est transitive si et seulement si, quels que soient trois éléments x, y, z de E, (xRy et yRz), ⇒ (xRz).

Les relations d'ordre et les relations d'équivalence sont transitives :
x, y, z étant trois nombres, (x ≥ y et y ≥ z) ⇒ (x ≥ z).
d, d′, d″ étant trois droites, (d // d′ et d′ // d″) ⇒ (d // d″).

Certains auteurs (Roberval) ont reproché aux traités classiques de géométrie (les Éléments en particulier⁽¹⁾) d'accepter implicitement la transitivité de ce genre de relations, alors qu'elle était démontrable. Cette discussion n'est pas sans conséquence dans l'étude des relations d'ordre en jeu dans la théories des proportions.

Le terme est d'usage fréquent dans la scolastique où l'on appelait « cause transitive », une cause ou action qui ne demeure pas interne à l'agent et qui en quelque sort « passe » dans la chose affectée. La cause transitive s'oppose à la « cause immanente » qui n'affecte pas l'agent. « Dieu est une cause immanente de toute chose et non une cause transitive » (Spinoza, Éthique, I, 18).

Vincent Jullien