transfini

Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».

Mathématiques, Logique

Se dit des nombres qui dépassent l'infini. Ce concept a été forgé par Cantor, vers 1890, dans le cadre de la théorie abstraite des ensembles ; il s'applique aux nombres cardinaux et ordinaux associés à des ensembles infinis.

La notion de puissance d'un ensemble, nécessaire à l'intelligibilité du transfini, désigne la propriété commune des ensembles qui peuvent être mis en bijection. Ainsi, tous les ensembles pouvant être « numérotés » ou « indicés » à l'aide des entiers auront pour cardinal la puissance du dénombrable, noté ℵ₀ qui est le premier cardinal transfini. L'ensemble des parties de ℕ ou de ℤ ou encore la puissance de l'ensemble ℝ ont été montrés non-dénombrables par Cantor. Le cardinal de ℝ est appelé puissance du continu, c'est un transfini supérieur au précédent. Un ensemble étant donné, l'ensemble de ses parties ne peut être mis en bijection avec lui-même ; on dispose donc d'une hiérarchie des transfinis en considérant simplement les puissances successives des ensembles des parties d'ensembles, à partir de ℕ.

Cantor, en considérant les classes d'ensembles dans lesquels on établit une relation d'ordre de même type, en a déduit un concept de nombres ordinaux transfinis qui désigne justement les types d'ordre des ensembles infinis bien ordonnés.

Vincent Jullien