notation

Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».

Mathématiques

Marque ou signe, ou encore système de signes, associés à un objet ou à des relations entre objets.

La musique fournit un excellent exemple de système de notations. La notation en mathématique constitue véritablement une des dimensions de cette science, au point que ses développements sont étroitement dépendants de la mise au point de notations performantes.

Les figures élémentaires de la géométrie sont les premières formes de notation mathématique, qui apportent une certaine distance entre les objets sur lesquels on raisonne et les développement déductifs dont ils sont l'occasion. Leibniz cherchera, en 1670, un système de notation symbolique des grandeurs de la géométrie euclidienne.

L'élaboration de l'écriture des nombres constitue un processus central de la notation des grandeurs mathématiques. Les relations logiques fondamentales comme l'égalité ou l'ordre, les opérations élémentaires comme l'addition, la multiplication, etc., sont – au terme de processus très longs – exprimées par des signes conventionnels qui permettent le développement des algorithmes de calcul.

La notation algébrique dont l'idée de départ consiste à traiter des lettres (a, b, c, x, y...) selon les procédures du calcul, ordinairement fait sur des nombres, est à la source d'un véritable basculement de la science mathématique. Elle permet, non seulement, d'accroître la puissance des algorithmes eux-mêmes parce qu'ils deviennent généraux (indépendants des valeurs particulières des paramètres ; formule du binôme par exemple), mais encore d'exprimer symboliquement des propriétés géométriques : caractérisation de courbes, distances, aires, volumes, lieux. Chez les premiers grands inventeurs des notations algébriques (Viète, Descartes, Fermat), ce système de notation a toutefois une valeur restreinte à une sorte d'aide-mémoire ; c'est un moyen de soulager l'imagination par des abréviations, systématiques certes, mais qui demeurent liées et dépendantes des choses mêmes qu'elles représentent. On ne trouve pas chez Descartes de notation d'objet qui ne puisse – en droit – relever de la représentation dans l'étendue.

La création de symboles adéquats à des êtres de raison comme les différentielles, les racines imaginaires, les indices, les intégrales est à son tour décisive. Les mathématiques se dotent d'objets symboliques qui existent dès lors qu'ils sont non contradictoires et compatibles entre eux, sans référence a priori à une possible représentation.

Vincent Jullien