inégalité

Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».

Mathématiques, Logique

Deux grandeurs sont inégales lorsqu'elles sont comparables selon une relation d'ordre, sans être identiques.

Entre deux nombres réels distincts, on aura bien une inégalité, mais, pour parler strictement, deux nombres complexes distincts ne seront pas dits inégaux, mais distincts. Dans le premier cas, l'un des nombres est supérieur à l'autre ; pas dans le second cas. Ainsi, l'inégalité n'a de sens que dans le cadre d'une relation d'ordre.

Deux conceptions de l'inégalité peuvent être proposées selon que l'on voie dans l'égalité la négation de l'inégalité ou que l'on considère l'égalité comme limite de l'inégalité.

L'inégalité est compatible avec l'addition, ce qui, dans les Éléments d'Euclide, est exprimé par la deuxième notion commune : « Et si, à des choses égales, des choses égales sont ajoutées, les touts sont égaux. »

Une inégalité de grande importance mathématique est l'« inégalité triangulaire », qui énonce que la somme de deux côtés d'un triangle est supérieure au troisième. Elle fournit un des axiomes nécessaires à la définition d'une norme sur tout espace vectoriel : pour qu'une application N d'un espace vectoriel E sur ℝ, dans ℝ₊, soit une norme, il faut que, pour tout couple (x, y), N(x) + N(y) > N(x+y).

Vincent Jullien