groupe (structure de)

Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».

Mathématiques

Structure particulière des ensembles.

Un ensemble E muni d'une loi de composition interne T (pour tout (ab) de ExE il existe c dans E tel que aTb = c), nommé (E, T), est un groupe si :
a) T est associative
(∀ a1, a2, a3 ∈ E (a1 Ta2)Ta3 = a1 T(a2 Ta3))
b) Il existe, pour tout a de E, un élément neutre e
(∀ a ∈ E, aTe = eTa = a)
c) Tout élément a de E possède un inverse ā
(∀ a ∈ E, aTā = āTa = e)

Si la loi interne est commutative (∀ ab ∈ E, aTb = bTa), le groupe défini est alors nommé commutatif ou abélien. La structure de groupe munie de cette loi de composition interne et / ou de lois de composition externes est une propriété fondamentale de la théorie générale des ensembles. Son application s'étend à la majeure partie des structures algébriques.

C'est dans les travaux de Galois que l'importance de la notion de groupe a pu être mise en évidence pour la première fois. Dans son mémoire de 1831(1), écrit alors qu'il avait 20 ans, Galois découvre étudie la résolution des équations au moyen des permutations soigneusement choisies sur les racines de cette équation. Le « groupe de l'équation » est une structure algébrique particulière qui comprend toutes les permutations possibles des racines qui laissent invariables les expressions des polynômes correspondants. La théorie de Galois montre que la résolution par radicaux des équations d'un degré supérieur à 5 (cas de l'équation générale de degré 5 étudié par Abel) n'est pas généralisable. La résolution de problèmes relevant de la théorie des corps peut désormais être réduite à l'analyse des groupes tels que celui de Galois, qui revient à construire entre deux corps une extension finie au traitement généralisable.

Dans un tout autre domaine, la mécanique, la notion de groupe des transformations covariantes a elle aussi permis d'étendre la validité des opérations relevant d'une partie de la physique, à une autre partie, par simple substitution de paramètres. Ainsi Lorentz puis Poincaré définissent-ils une transformation galiléenne qui permet de transcrire les propriétés d'accélération d'un système vers un autre système dont l'état de mouvement est différent. La notion de groupe exprime ici aussi la symétrie profonde de certains corps de lois en physique (électromagnétisme et mécanique classique).

Fabien Chareix

Notes bibliographiques

  • 1 ↑ E. Galois, Mémoire envoyé à l'Académie des sciences sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, 1830 cf. Œuvres mathématiques, Gabay, Paris, 1989.