diagonal (argument)

Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».

Logique

Type de démonstration très usité en logique mathématique, et qui vise, dans son acception primitive, à montrer qu'une liste supposée contenir tous les objets satisfaisant à une certaine propriété est, en fait, lacunaire ; la démonstration consiste à construire, à partir de la liste donnée, un élément dit « diagonal » qui possède la propriété en question, mais qui ne figure pas sur la liste.

Le premier usage d'un argument diagonal dans le domaine des fondements des mathématiques remonte à la preuve cantorienne⁽¹⁾ de la non-dénombrabilité des nombres réels de l'intervalle [0,1] : à chaque liste
0, a₁₁ a₁₂ a₁₃ ...
0, a₂₁ a₂₂ a₂₃ ...
0, a₃₁ a₃₂ a₃₃ ...
constituée d'éléments de cet intervalle, nous pouvons en effet associer un nombre qui appartient lui aussi à cet intervalle, mais qui ne figure pas sur la liste en question, à savoir le nombre 0, b₁ b₂ b₃ ..., dont les décimales successives sont définies par b_i = a_ii + 1 si a_ii ≠ 9 et b_i = 0 sinon (ce nombre « diagonal » diffère évidemment du i-ième nombre de la liste par sa i-ème décimale).

Jacques Dubucs