déterminant
Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».
Mathématiques
Soit un espace vectoriel de dimension n sur K. Soit une base B (e1, e2, ..., en). Il existe une unique forme n-linéaire alternée prenant la valeur I sur cette base. On l'appelle déterminant dans la base B et on le note detB.
Soit alors une suite de n vecteurs (x1, x2, ..., xn), on appelle déterminant de ces n vecteurs, le scalaire detB (x1, x2, ..., xn).
Cas où n = 2
Soit (x, x′) et (y, y′), les coordonnées de u et v dans la base B. Alors, detB (u, v) = xy′ – x′y.
Cas où n = 3
Soit (x, x, x‴), (y, y′, y″) et (z, z′, z″), les coordonnées de u, v et w dans la base B. Alors, detB (u, v, w) = xy′z″ + x′y″z + x″yz′ – x″y′z – x′yz″ – xy″z′.
On en déduit la définition de déterminant d'une matrice carrée A d'ordre n.
On appelle déterminant de A le déterminant des vecteurs colonnes de A par rapport à la base ordonnée canonique de Kn.
On montre notamment que l'indépendance linéaire des vecteurs est établie si le déterminant est non nul.
Il est particulièrement utile de considérer la matrice des coefficients d'un système de n équations du premier degré à n inconnues pour discuter de l'existence et de l'unicité des solutions.
La théorie des déterminants est déduite des développements de l'algèbre linéaire, mais on en trouve des prémices dans l'idée de notation indiciaire introduite par Leibniz pour les coefficients des équations.
Vincent Jullien