dénombrable

Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».

Mathématiques

Ensemble dont l'on peut numéroter les éléments, c'est-à-dire lorsqu'il existe une bijection entre cet ensemble et l'ensemble des nombres entiers (N).

L'exhibition de paradoxes simples associés aux ensembles dénombrables a stimulé, au xvii^e s., les réflexions sur l'infini mathématique. Galilée, dans la première journée des Discours concernant deux sciences nouvelles⁽¹⁾, montre comment il y a autant de carrés parfaits (1, 4, 9, etc.) que de nombres entiers. Un sous-ensemble propre pouvant donc avoir même cardinal que l'ensemble total.

Dedekind, en 1930, appuiera sa définition d'un ensemble infini sur cette propriété « Un système S est dit infini quand il est semblable à une de ses parties propres »⁽²⁾. La considération des ensembles infinis dénombrables (dont ℕ est le modèle) est encore à la base du raisonnement par induction complète dont la première formulation explicite semble due à Pascal, dans son Traité du triangle arithmétique.

Les travaux de Dedekind et Cantor notamment ont permis d'établir que les ensembles des nombres rationnels (ℚ) et des nombres algébriques sont dénombrables. En revanche, l'ensemble des parties de ℕ (P(ℕ)) et l'ensemble des nombres réels (ℝ) ne le sont pas. Ils ont une puissance supérieure ; ℝ a la puissance du continu.

Vincent Jullien