constructivisme

Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».

Logique, Philosophie Cognitive

1. Orientation logique qui rejette les preuves « non constructives », celles qui prétendent établir l'existence d'un objet mathématique doté de certaines propriétés sans pour autant présenter aucun exemplaire de l'objet en question, ni donner une indication pour la construction d'un tel objet. Par exemple, un constructiviste exigera, d'une preuve du théorème selon lequel, pour tout nombre premier, il en existe un plus grand, qu'elle indique explicitement, un nombre premier étant donné, un nombre premier plus grand que celui-là (ou, à défaut, une borne supérieure pour un tel nombre). – 2. Doctrine philosophique selon laquelle les objets mathématiques doivent être considérés comme des constructions mentales, et non pas comme des réalités indépendantes préexistant à l'activité du mathématicien.

La première formulation du constructivisme moderne a été, à la fin du xix^e s., le fait de Kronecker⁽¹⁾, qui demandait que tous les objets soient construits à partir des entiers naturels, que l'infini « actuel » soit banni des mathématiques, et que les preuves d'existence fournissent toujours une méthode permettant de trouver en un nombre fini d'étapes une approximation arbitrairement proche pour le nombre dont l'existence était prouvée. Dans la phase suivante, consécutive aux paradoxes découverts dans la théorie cantorienne des ensembles, deux types de principes font précisément l'objet des critiques constructivistes. D'une part, et ceci est le fait de l'intuitionnisme, le principe du tiers-exclu A v ¬A et celui de la double négation ¬¬A ⇒ A sont récusés : établir qu'il serait absurde qu'un objet doué de certaines propriétés n'existe pas n'équivaut pas à établir (constructivement) l'existence de cet objet. D'autre part, et cette seconde critique est l'apanage du « prédicativisme », les définitions « imprédicatives », qui définissent un objet en termes d'une collection à laquelle cet objet appartient, sont réputées illégitimes.

Jacques Dubucs

→ définition, infini, intuitionnisme