archimédien

Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».

Mathématiques

Se dit d'un ensemble de grandeurs lorsque, quelles que soient deux grandeurs a et b avec a < b, il existe un entier n tel que n.a > b.

Le lemme, dit d'Archimède, est explicitement énoncé comme postulat 5 dans le Traité de la sphère et du cylindre pour assurer que les lignes, les surfaces et les volumes sont respectivement des grandeurs archimédiennes. La définition 4 du livre V des Éléments d'Euclide en fait un critère d'homogénéité – ou plus exactement de possibilité de mise en rapport – entre grandeurs : « Des grandeurs sont dites avoir un rapport l'une relativement à l'autre quand elles sont capables, étant multipliées, de se dépasser l'une l'autre. »⁽¹⁾. Ainsi, des grandeurs de dimensions différentes (comme les lignes et les surfaces) ne se conforment-elles pas à ce lemme.

Un tel axiome était devenu indispensable après la découverte des irrationnels qui rendait impossible l'identification des rapports entre grandeurs géométriques aux rapports numériques.

La construction des nombres réels, à la fin du xix^e s., sera l'occasion d'une discussion sur le statut de cet énoncé. Cantor estime en effet pouvoir le démontrer sur cet ensemble. Cette possibilité n'étant du reste qu'une conséquence d'un axiome de continuité sur les réels (ceux-ci étant pour Cantor « représentables sous la forme de segments continus et bornés sur une droite »⁽²⁾), il s'agit – comme le soutient Frege – d'une substitution d'axiomes. La discussion s'est poursuivie autour de la notion de continuité dont Hilbert a montré qu'elle est plus puissante que l'axiome d'Archimède qui n'en constitue que l'un des aspects⁽³⁾.

Les modèles de l'analyse non-standart, développés vers 1950 par A. Robinson s'appuient sur le prolongement des réels dans un ensemble de pseudo réels où l'axiome d'Archimède n'est plus valide. On y considère des éléments « infiniment petits » dont aucun multiple fini n'est supérieur à 1.

Vincent Jullien