addition

Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».

Mathématiques

De façon générale, action qui consiste à ajouter une chose à une autre, de même nature⁽¹⁾.

En mathématiques, un ensemble étant donné, l'addition est une opération interne, associative, commutative et munie d'un élément neutre. On définit ainsi l'addition de nombres, de vecteurs, de fonctions, de matrices, etc. L'élément obtenu est appelé somme. Si, en outre, chaque élément admet un symétrique, on obtient un groupe additif abélien.

En arithmétique, cette opération a d'abord consisté à associer des nombres entiers. Elle n'est pas définie dans les Éléments d'Euclide, où l'on trouve « ce que l'on pourrait appeler une réunion disjointe de monades ». En théorie des ensembles, l'addition est définie à partir de la réunion de deux ensembles disjoints : le cardinal de la réunion est la somme des cardinaux des deux ensembles de départ.

L'addition a été naturellement étendue, par prolongement, aux nombres autres que les naturels. Il a fallu reconnaître, en particulier que « en algèbre, ajouter ne signifie pas toujours augmenter » (Enc., I, 22) dès lors qu'on additionne des quantité qui peuvent être négatives. La possibilité de concevoir l'addition de certains objets a pu être déterminante pour les reconnaître comme des nombres : ainsi de l'addition des « rapports » qui n'est acquise que lors du dépassement de la théorie des proportions par les algorithmes algébriques à la fin du xvii^e s.

Les discussions concernant les méthodes infinitésimales ont bien mis en valeur la double nécessité, pour l'addition, de n'opérer qu'entre choses de même nature (on n'additionne pas un cercle et un disque) et de ne réaliser que des additions finies (une infinité de lignes « additionnées » ne donnent pas une aire).

Vincent Jullien