ℤ

Symbole représentant l'ensemble des entiers relatifs, soit : …(− 3) ; (− 2) ; (− 1) ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ;…

Le sous-ensemble notéℤ⁺, égal à{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}, est l'ensemble des entiers relatifs positifs ; le sous-ensemble notéℤ⁻, égal à {… (− 3) ;(− 2) ; (− 1) ; 0}, est l'ensemble des entiers relatifs négatifs. On a ℕ = ℤ⁺ etℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.

L'ensemble ℤ muni de l'addition a une structure de groupe commutatif. On le construit en associant, à tout entier naturel n de ℕ, son opposé− n. De cette façon, l'équation x + a′ = a, qui n'a de solution dansℕ que si a′ ≤ a, a toujours dans ℤ une solution x = x + (−a′) où (− a′) est l'opposé de a′.

Dans ℤ, la multiplication est définie de telle sorte qu'elle prolonge la multiplication dans ℕ et qu'elle soit distributive par rapport à l'addition ; elle est donc interne, associative, commutative, admet 1 comme élément neutre ; de plus (ℤ, +,×) a une structure d'anneau commutatif unitaire. Muni de la relation d'ordre a ≤ b, si b − a ∈ ℤ⁺, c'est un anneau totalement ordonné et archimédien. C'est d'ailleurs l'exemple de base de la notion de structure d'anneau et les notions de multiples, diviseurs, division euclidienne, nombres premiers, décomposition en facteurs premiers, idéal sont étudiées en arithmétique.