prédicatif

Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».

Logique, Philosophie Cognitive

Qui affirme un prédicat d'un sujet. En logique, se dit d'une définition qui définit une entité sans mentionner ou présupposer un ensemble comprenant l'entité définie ; dans le cas contraire, on parle de définitions imprédicatives.

L'attention pour les définitions imprédicatives est apparue dans le cadre de la formalisation de la théorie des ensembles et de la logique. B. Russell introduit l'expression « non prédicatif » dans un article⁽¹⁾ de 1906 et H. Poincaré la reprend dans le troisième des articles intitulés « Les mathématiques et la logique »⁽²⁾. Pour Russell et Poincaré les définitions imprédicatives contiennent un cercle vicieux et engendrent des contradictions, notamment celle induite par la considération de l'ensemble des ensembles qui ne s'appartiennent pas à eux-mêmes. Russell propose avec sa « théorie des types » une méthode syntaxique de construction des formules du langage logique qui permet d'éviter de telles définitions et de telles antinomies. Poincaré tient l'infini actuel pour responsable des contradictions qui peuvent survenir au cours du raisonnement ; il le rejette donc en recommandant de se restreindre à l'infini dénombrable de la suite des entiers naturels et de proscrire les définitions imprédicatives. La faute dans celles-ci consiste, pour Poincaré, à faire porter un quantificateur universel sur un ensemble infini, lequel n'est pas entièrement à notre disposition. Cependant, l'axiomatisation de la théorie des ensembles permet d'éviter les antinomies en conservant l'infini actuel et les définitions imprédicatives. Fort heureusement, du reste, car celles-ci sont légion en mathématiques classiques. Ainsi la définition de l'ensemble N des entiers naturels comme le plus petit ensemble (c'est-à-dire l'intersection des ensembles) contenant 0 et stable pour l'opération +1 est imprédicative, puisque 0 appartient à N et que N est stable pour +1. De même la définition de la borne supérieure d'un sous-ensemble de nombres réels comme le plus petit des majorants de ce sous-ensemble ; de même encore la définition de l'élément neutre d'un groupe, etc.

À contre-courant de la majorité des mathématiciens, certains logiciens ont relevé le défi proposé par Poincaré de s'en tenir aux mathématiques prédicatives. Des travaux de G. Kreisel et de S. Feferman montrent comment reconstruire une large part des mathématiques classiques en se restreignant à des ensembles prédicativement définissables et à des raisonnements et preuves respectant l'exigence de prédicativité.

Hourya Sinaceur

→ antinomie