application
Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».
Du latin applicatio, de applicare, « mettre contre ». Terme mathématique de la théorie des fonctions.
Épistémologie, Mathématiques
Mise en correspondance des éléments d'un ensemble, dit de départ, avec des éléments d'un ensemble dit d'arrivée. Dans le cas d'une application, tous les éléments de l'ensemble de départ ont un correspondant unique (ce qui particularise une application par rapport à une fonction qui peut n'être pas « partout définie »).
Les applications du plan ou de l'espace qui, à des points associent des points, sont des transformations géométriques ; ainsi les translations, symétries, rotations, homothéties, inversions, projections, etc. Ces concepts ont permis de formaliser rigoureusement les « mouvements » de figures ou d'ensembles de points en géométrie.
Les courbes usuelles (coniques, trigonométriques, logarithmiques, etc.) peuvent être définies comme graphe (c'est-à-dire, comme ensemble des points antécédent / image) d'applications réelles et la notion peut être étendue à des ensembles de dimension supérieure à un.
La technique de l'application des aires a joué un grand rôle dans la géométrie ancienne : « construire une aire équivalente à une figure donnée sur une droite donnée » (cf. Éléments, I, prop. 44). Proclus attribue la découverte de cette technique aux pythagoriciens.
Soutenir la possibilité et la légitimité de l'application d'une science à une autre, (en particulier des mathématiques à la physique) revient à considérer l'ensemble des énoncés respectifs concernant celles-ci, puis à établir une correspondance entre les objets et les relations de l'une vers l'autre. Un trait majeur de la naissance de la science classique réside dans l'affirmation de cette possibilité, par Galilée notamment. Ainsi, la théorie mathématique des espaces de Hilbert s'applique-t-elle aux états physiques des systèmes quantiques. Le problème s'est posé au sein même des mathématiques où « l'application de l'algèbre et de l'analyse à la géométrie » a transformé l'ensemble des mathématiques. Descartes puis Leibniz en furent les premiers grands instigateurs. Plus récemment, à la fin du xixe s., « l'arithmétisation de la géométrie » a représenté une tentative d'application d'une science à une autre.
Vincent Jullien