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Symbole représentant l'ensemble des entiers naturels, ou naturels. (ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}. * désigne l'ensemble des naturels non nuls.)

L'ensemble ℕ est l'ensemble de tous les cardinaux finis. C'est un ensemble infini dénombrable dont le cardinal est 0 (aleph zéro).

La structure de l'ensemble ℕ est définie par les axiomes de Peano :
1° l'élément zéro appartient à ℕ ;
2° tout élément de ℕ admet un suivant ; zéro (0) n'est le suivant d'aucun élément de ℕ ; 1 est le suivant de zéro ;
3° deux naturels qui ont le même suivant sont égaux ;
4° toute partie A de ℕ contenant 0 et telle que le suivant de tout élément de A appartienne à A est égale à ℕ.

L'axiome 4 est très important, car il est à la base du raisonnement par récurrence, qui permet de démontrer de nombreux théorèmes. Si A et B sont deux ensembles finis disjoints de cardinal respectif a et b, on définit la somme a + b comme le cardinal de l'ensemble réunion de A et de B. On définit ainsi une addition sur ℕ, opération interne, associative, commutative, admettant 0 pour élément neutre et pour laquelle tout élément est régulier. Si A et B sont deux ensembles finis de cardinal respectif a et b, et A′ et B′ deux ensembles respectivement équipotents à A et B, alors

card A × B = card A′ × B′ = a × b ;

on définit donc une multiplication sur ℕ, opération interne associative, commutative, admettant 1 pour élément neutre et pour laquelle tout élément non nul est régulier.

La multiplication est distributive par rapport à l'addition. Ces deux opérations sont compatibles avec la relation d'ordre total, appelée ordre naturel, définie par ab si et seulement si il existe un naturel x tel que a + x = b.

Dans le cas où a b, le naturel x tel que a + x = b est appelé différence et noté ba ; la différence ba n'est définie dans ℕ que si ab ; donc, la soustraction n'est pas une opération sur ℕ.

Sur ℕ est définie une division appelée division euclidienne.