surface

Étendue plane ; mesure de cette étendue.

Dans une acception vieillie, le mot surface est parfois considéré comme synonyme d'aire. Aujourd'hui, le terme a deux autres acceptions ; on remarquera l'analogie avec le mot courbe.

Surface algébrique

Une surface est un ensemble de points de l'espace satisfaisant à une condition simple. Ainsi, les disciples de Descartes, se plaçant surtout du point de vue de la géométrie analytique, définissent une surface comme l'ensemble des points de coordonnées x, y et z vérifiant une équation de la forme :
F(x,y,z) = 0

La surface est alors définie implicitement par son équation. Lorsque F est une fonction polynomiale, la surface est dite algébrique. Plus précisément, si F est de degré n, la surface est dite d'ordre n ; toute droite de l'espace la rencontre en n points au plus, si l'on excepte peut-être quelques cas particuliers (comme celui des cônes). Le cas où n = 2 est celui des quadriques : ellipsoïde, paraboloïde, hyperboloïde ; la section d'une quadrique par un plan est une conique.

Voici d'autres exemples de surfaces définies par un mode de génération simple. Étant donné un point S, on appelle cône de sommet S une surface invariante par les homothéties de centre S ; un cône non réduit à son sommet est la réunion d'un ensemble de droites passant par S. De même, étant donné une droite D, on appelle cylindre de direction D une surface invariante par les translations de vecteur colinéaire à D ; un cylindre est la réunion d'un ensemble de droites parallèles à D.

Supposons maintenant que l'espace est euclidien. Étant donné une droite D, on appelle surface de révolution d'axe D une surface invariante par les rotations autour de D ; une telle surface est la réunion d'un ensemble de cercles d'axe D, cercles appelés parallèles. C'est encore la surface obtenue en faisant tourner une courbe C autour de D. Lorsque cette courbe est dans un plan passant par D, on dit que c'est une méridienne. Par exemple, si C est un cercle de diamètre porté par D, on obtient une sphère ; plus généralement, la surface obtenue par rotation d'un cercle autour d'une droite de son plan est appelée tore ; elle présente l'aspect d'une chambre à air.

Signalons que les cônes de révolution et les cylindres de révolution sont des quadriques particulières. Les cônes et les cylindres peuvent être considérés comme des surfaces réglées : on appelle ainsi une surface engendrée par un ensemble de droites assujetties à deux conditions, telles que passer par un point donné, rencontrer une courbe donnée, etc. On dit qu'une surface réglée est un conoïde si l'une des conditions est de rester parallèle à un plan donné.

Nappe paramétrée

Selon la géométrie différentielle, une surface est non plus un ensemble de points, mais la correspondance entre une partie du plan et une partie de l'espace. Plus précisément, soit A un espace affine attaché à un espace vectoriel normé ; on appelle nappe paramétrée un couple (D, f) constitué d'un ouvert connexe D de R² et d'une application continue f de D dans A. L'image de D par f s'appelle support de la nappe paramétrée. Tout point du plan R² est un couple (u, v) de nombres réels ; tout point M du support d'une nappe paramétrée peut donc être écrit sous la forme M = f (u, v). Les nombres u et v s'appellent paramètres du point M.

Une surface d'équation résolue en z, c'est-à-dire de la forme z = G (x, y), peut être considérée comme le support d'une nappe paramétrée, les paramètres n'étant autres que x et y. Plus généralement, une surface définie par une équation de la forme F(x,y,z) = 0 peut être parfois représentée paramétriquement. Ainsi, la sphère de centre O et de rayon R, d'équation x² + y² + z² = R², est le support de la nappe paramètres :
x = R cos ϑ cos ϕ
y = R sin ϑ cos ϕ
z = R sin ϑ
Les paramètres ϑ et ϕ ne sont autres que la longitude et la latitude, bien connues en géographie.

L'étude d'une nappe paramétrée commence par la recherche d'un plan tangent en un point, c'est-à-dire d'un plan qui représente le support de la nappe en première approximation. L'étude métrique des nappes paramétrées (dans le cas où l'espace affine A est euclidien) se rapporte essentiellement à celle des courbes tracées sur la surface ; un problème fondamental est celui de la comparaison des courbures et des torsions des diverses courbes passant par un même point du support de la nappe.

Un autre problème est celui de la recherche des arcs paramétrés de longueur minimale joignant deux points donnés, dont le support est contenu dans celui de la nappe. De telles courbes sont appelées géodésiques ; leur importance est apparue dès le xvi^e s., à propos des problèmes de navigation terrestre. Les géodésiques de la sphère sont, conformément à l'intuition, des arcs de grands cercles ; mais, en général, ces courbes ne sont pas représentées par des droites sur les planisphères.