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relation

MATHÉMATIQUES

Le concept de proposition, fondamental en logique, a pour cas particulier celui de relation, en mathématiques. Une relation est représentée par un assemblage de plusieurs lettres ; intuitivement, c'est une assertion portant sur des ensembles.

Une théorie mathématique repose sur la liste explicite de relations, dites axiomes. Toute relation qui se déduit à partir des axiomes suivant les règles de la logique prend le nom de théorème. Une relation est dite vraie (dans une théorie donnée) si c'est un axiome ou un théorème. On dit qu'une relation est fausse lorsque sa négation est vraie. Une relation à la fois vraie et fausse est dite contradictoire. L'existence d'une telle relation dans une théorie conduit, bien entendu, à une remise en cause de la liste des axiomes. Enfin, il peut exister des relations qui ne sont ni vraies ni fausses. Une telle relation est dite indécidable ; on peut l'adjoindre (ou adjoindre sa négation) à la liste des axiomes.

Les relations binaires

Les principales relations utilisées en mathématiques sont les relations binaires, c'est-à-dire portant sur deux variables. L'égalité, l'appartenance, l'inclusion sont des exemples de relations binaires entre ensembles. Plus particulièrement encore, on appelle relation binaire dans un ensemble E une relation portant sur les couples d'éléments de E. Une telle relation se note souvent R(x, y), ou encore x R y.

Ainsi, la relation x ≤ y est une relation binaire dans l'ensemble des nombres entiers naturels. Cette relation possède les propriétés suivantes : pour tout entier naturel x, x ≤ x ; pour tout couple (x, y) d'entiers naturels, la relation x ≤ y et y ≤ x implique x = y ; pour tout triplet (x, y, z) d'entiers naturels, la relation x ≤ y et y ≤ z implique x ≤ z.

La relation de divisibilité dans l'ensemble des entiers naturels non nuls est une relation binaire possédant des propriétés analogues : pour tout entier naturel non nul x, x divise x ; pour tout couple (x, y) d'entiers naturels non nuls, la relation x divise y ; y divise z, implique x divise z. On remarquera que, contrairement au cas précédent, deux éléments x et y ne sont pas nécessairement comparables : il peut arriver que x ne divise pas y et que y ne divise pas x.

Soit maintenant n un entier naturel non nul. La relation définie par les couples (x, y) ayant le même reste dans la division par n est une relation binaire dans l'ensemble des entiers rationnels ; on l'appelle congruence modulo n, et on la note : x ≡ y (mod. n).

II est clair que x ≡ x (mod. n). De plus, x ≡ y (mod. n) implique y ≡ x (mod. n). Enfin, si x est congru à y et si y est congru à z, alors x est congru à z.

Propriétés des relations

On dit qu'une relation binaire R dans E est réflexive si, pour tout élément x de E, R(x, x) est vraie. On dit que R est symétrique si, pour tout couple (x, y) d'éléments de E, la relation R(x, y) implique la relation R(y, x) ; on dit que R est antisymétrique si, pour tout couple (x, y) d'éléments de E, la conjonction des relations R(x, y) et R(y, x) implique x = y. Enfin, on dit que R est transitive si, pour tout triplet (x, y, z) d'éléments de E, la conjonction des relations R(x, y) et R(y, z) implique R(x, z).

Une relation réflexive et transitive prend le nom de relation de préordre. Les relations de préordre symétrique s'appellent relations d'équivalence, les relations de préordre antisymétrique s'appellent relations d'ordre. Soit E un ensemble ordonné, c'est-à-dire un ensemble muni d'une relation d'ordre ; on dit que E est totalement ordonné (ou que l'ordre est total) si deux éléments quelconques x et y de E sont comparables, c'est-à-dire si l'une au moins des relations R(x, y) et R(y, x) est vraie.

Cette débauche de vocabulaire, déroutante pour le profane, se traduit en fait par une grande économie de pensée. En effet, les exemples de relations de préordre abondent dans toutes les branches des mathématiques. La relation d'ordre canonique x ≤ y est une relation d'ordre total dans l'ensemble des entiers naturels (ou dans l'ensemble des nombres rationnels, ou dans l'ensemble des nombres réels). En revanche, la relation x < y, qui n'est pas réflexive, n'est pas une relation d'ordre. La relation d'inclusion dans l'ensemble des parties d'un ensemble est une relation d'ordre ; il en est de même de la relation de divisibilité dans l'ensemble des entiers naturels non nuls. La relation de parallélisme est une relation d'équivalence dans l'ensemble des droites d'un plan ; la relation de congruence modulo un entier naturel non nul n est une relation d'équivalence dans l'ensemble des entiers rationnels. La relation d'égalité entre éléments d'un ensemble est à la fois une relation d'équivalence et une relation d'ordre ; c'est d'ailleurs la seule relation de préordre à la fois symétrique et antisymétrique.

Des méthodes générales permettent d'étudier simultanément les propriétés de toutes les relations d'équivalence, ou de toutes les relations d'ordre.