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linéaire

(latin linearis, de linea, ligne)

MATHÉMATIQUES

Application linéaire

Si E et F sont deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K, et f une application linéaire de E dans F, d'après la première propriété f(x + y) = f(x) + f(y), f est un homomorphisme de groupe de (E, +) dans (F, +) et a donc les mêmes propriétés que les homomorphismes, en particulier

f(0E) = 0F, f(−x) = −f(x).

Par application linéaire f, l'image d'un sous-espace vectoriel de E est un sous-espace vectoriel de F. Un cas particulier en est l'image f(E) de E, notée Im(f). La propriété « f est surjective » est alors équivalente à Im(f) = F.

Par application linéaire f, l'image réciproque d'un sous-espace vectoriel de F est un sous-espace vectoriel de E. Un cas particulier en est l'image réciproque du sous-espace formé par l'élément neutre 0F de F, habituellement appelée noyau de f et notée Ker(f). La propriété « f est injective » est équivalente à Ker(f) = 0E.

Si et sont respectivement des bases de E et F, f est entièrement déterminée par la connaissance des coordonnées sur (bi) de chacun des n vecteurs f(ai). En effet, si x est un élément de E, on a

et

i ∈ { 1, …, n}, f(a) élément de F s'exprime comme combinaison linéaire des vecteurs de la base (bi). On appelle matrice de l'application linéaire f par rapport aux matrices (ai) et (bi) la matrice de type (p, n) dont la colonne d'indice i est formée des coordonnées de f(ai) sur la base (bi).

Équation linéaire

Si f est une application linéaire d'un K-espace vectoriel E dans un K-espace vectoriel F et b un élément de F, l'équation f(x) = b a des solutions si f−1 (b) ;≠ . L'équation f(x) = 0, appelée équation linéaire homogène associée à f, admet pour solution les éléments de Ker f. Si x0 est une solution de l'équation f(x) = b, on a f(xx0) = 0F, et x = x0 ∈ Ker f ; si x0 est une solution de f(x) = b, les autres solutions sont donc de la forme x0 + z, où z ∈ Ker f.

Système d'équations linéaires

Un système de p équations linéaires à n inconnues peut être mis sous la forme

.
La matrice A [aij] est dite matrice des coefficients. Si l'on désigne par B la matrice colonne d'éléments b1, b2, …, bp et par X la matrice colonne d'éléments x1, x2, …, xn, le système équivaut à l'égalité matricielle AX = B.

Un système linéaire de n équations à n inconnues dont la matrice A a un déterminant non nul, admet une solution unique donnée par la relation matricielle X = A− 1. B A− 1 est la matrice inverse de A.