Étude des fonctions données sous forme de développement à l'aide de fonctions propres orthonormées.

L'histoire de l'analyse fonctionnelle, ainsi nommée par P. Lévy au début du XX^e s., est assez récente. Son objet est d'étendre le champ de l'analyse à des espaces abstraits dont les éléments ne sont plus des nombres, mais des fonctions. La généralisation de notions telles que continuité, dérivation, différentiation, intégration, notions reposant sur le concept de limite, suppose la définition d'une topologie sur un espace fonctionnel, les propriétés étudiées dépendant de la topologie choisie.