"Je les ai laissé chanter par les fillettes" est l'accord correct.
Selon une réforme orthographique déjà assez ancienne, on peut conserver les participes "laissé" et "fait" invariables.
Si l'on ne tient pas compte de cette réforme, on accorde "laissé" ou "fait" si le pronom personnel ("les" ici) est le sujet logique de l'infinitif :
Ces fillettes, je les ai laissées chanter / Ces chansons, je les ai laissé chanter.
L'exemple que vous proposez est un peu complexe, car les pourrait être considéré comme le sujet logique d'un passif être chantées ; mais le verbe se trouvant à la voix active, on ne peut le faire. On doit donc conserver ici laissé invariable, réforme ou pas.