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al-Kâchi ou al-Kâshi ou al-Kâshâni

Mathématicien et astronome iranien (Kachan, Iran, vers 1380-Samarkand 1439 ?).

La première partie de la vie d'al-Kâchi (Rhiyath al-Din Djamchid ibn Ma'soud al-Kâchi), passée dans sa ville natale, est mal documentée. Le premier fait attesté est qu'il y observa une éclipse de Lune, le 2 juin 1406 ; il y était encore l'année suivante lorsqu'il fit connaître les résultats de ses premiers travaux dans un traité, Soullam al-Sama (l'Escalier du Paradis), sur la détermination des distances et des tailles des corps célestes. Ses observations lui permirent ensuite d'améliorer les tables astronomiques de Nasir ad-din at-Tousi et d'établir de nouvelles tables d'une remarquable précision : outre des tables indiquant le mouvement détaillé du Soleil, de la Lune et des planètes, les calculs des parallaxes à différentes latitudes et des tables de visibilité de la Lune, ses Zij-i Khaqani (1414), dédiées au khan timouride Ulug Beg, contiennent des tables trigonométriques donnant les valeurs de la fonction sinus de degré en degré, avec une précision de quatre chiffres sexagésimaux (en base 60), les corrections étant données pour chaque minute d'arc. Al-Kâchi publiait également dans cet ouvrage des tables donnant les transformations d'un système de coordonnées à un autre pour les points de la sphère céleste, permettant en particulier le passage des coordonnées écliptiques aux coordonnées équatoriales.

En 1416, il fut appelé à rejoindre la cour d'Ulug Beg à Samarkand où il participa à la fondation du grand observatoire édifié alors dans cette ville, et dont il devint au côté de Qadi-zada al-Roumi, l'astronome en chef. Al-Kâchi laissa également des œuvres mathématiques de grande importance. Dans son Traité de la circonférence (Risala al-mouhitiyya, 1424), en reprenant la méthode des périmètres inventée par Archimède, al-Kâchi, considérant des polygones inscrits de (6·227) côtés, donna un calcul de 2π avec neuf chiffres sexagésimaux, soit seize chiffres décimaux : résultat bien supérieur à tout ce qui avait été trouvé auparavant, tant dans la Grèce antique que par les Chinois (six chiffres décimaux au ve s.), et qui ne sera dépassé en Europe que deux siècles plus tard par Van Ceulen (qui parvint à calculer 35 décimales de π, en raisonnant sur des polygones de 262 côtés).

Dans sa Clé de l'arithmétique (Miftah al-hisab, 1427), véritable encyclopédie mathématique en même temps que traité destiné à l'enseignement des mathématiques appliquées (aussi bien à l'astronomie qu'à l'architecture, la géographie ou à la gestion financière) et qui demeura une autorité pendant plusieurs siècles, al-Kâchi fut le premier à exprimer des calculs complexes au moyen des nombres indiens (calculs décimaux) ; il y donne entre autres un exposé détaillé des fractions décimales inventées par al-Samawal, et une généralisation du théorème de Pythagore à un triangle quelconque (avec angles aigus) : dans un triangle ABC, BC2 = AB2 + AC2 - 2AB·AC·cos(angle A). Enfin, dans son ultime ouvrage, le Traité des cordes et des sinus, que la mort l'empêcha de publier et qui fut achevé par Qadi Zada, il donnait un calcul de sinus 1° avec une précision comparable à celle qu'il avait donnée pour π dans son Traité de la circonférence.