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quadrique

Quadriques
Quadriques

Surface d'équation q (x, y, z) = 0 dans un repère orthonormé de l'espace euclidien E3, où q (x, y, z) est un polynôme à trois variables, de degré total 2.

Une équation d'une quadrique Q est de la forme
ax2 + ay2 + az2 + 2 byz + 2 bxz + 2 bxy + 2cx + 2cy + 2 cz + d = 0.

L'étude des divers cas se fait en utilisant la matrice

, dont on recherche les valeurs propres. Si aucune d'entre elles n'est nulle, on peut, par un changement d'origine des coordonnées et en prenant les vecteurs propres de M pour bâtir un nouveau repère orthonormé, ramener l'équation de la quadrique (dite alors réduite) à :
, équation d'un ellipsoïde 
ou à , équation d'un hyperboloïde à une nappe ;
ou à : , équation d'un hyperboloïde à deux nappes ;
ou encore à : , équation d'un cône.

Si une valeur propre est nulle par un même changement de repère que ci-dessus, on ramène l'équation à :
, équation d'un paraboloïde elliptique,
ou à : , équation d'un paraboloïde hyperbolique, ou encore à l'équation d'un cylindre elliptique, d'un cylindre hyperbolique ou de la réunion de 2 plans distincts (cylindre dégénéré).

Si deux valeurs propres sont nulles, la quadrique est un cylindre parabolique ou est dégénérée en la réunion de 2 plans parallèles.

Ellipsoïde, hyperboloïdes et paraboloïde elliptique peuvent être de révolution autour de O z si a = b. L'ellipsoïde peut être de révolution autour de O z (a = b), O x (b = c) ou O y (a = c). C'est une sphère si a = b = c.