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puissance

Fonction puissance
Fonction puissance

MATHÉMATIQUES

Fonction puissance

La fonction puissance est une application définie de +* dans +* qui, un réel u quelconque étant choisi, à tout réel x associe le réel xu (se lit « x exposant u ») défini par xu = eu ln x.

u étant un réel quelconque, si l'on note Pu la fonction puissance qui à x > 0 associe le réel positif xu, on a pour tout couple x, y de réels positifs non nuls :

Pu (x, y) = Pu (x) Pu (y).

Pu est donc un homomorphisme du groupe multiplicatif +* dans lui-même ; si u ≠ 0, c'est un isomorphisme (l'isomorphisme réciproque est alors P1/u). Pour u > 0, Pu est strictement croissante et se prolonge par continuité pour x = 0 en posant Pu (x) = 0. Pour u < 0, Pu est strictement décroissante. (Voir figure.)

Puissance d'un réel x

Si u ∈ ℤ−*, (x ≠ 0).
Si u ∈ ℚ* et x ∈ ℝ+*, xu = xp/q = (x1/q)p, où x1/q est le réel positif α, encore noté tel que αq = x et p/q un représentant quelconque de u ;
0u = 0 si u ∈ ℚ+* ;
x0 = 1 si x ∈ ℝ+*.
Si u ∈ ℝ et x ∈ ℝ+*, xu = eu ln x.
Quels que soient les exposants u et v, les calculs sur les puissances se font à l'aide des propriétés suivantes :
― xu × xv = xu+v ;
― xu × yu = (x × y)u ;
― (xu)v = xuv, x et y satisfaisant les conditions requises.