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probabilité

Christiaan Huygens
Christiaan Huygens

Rapport du nombre des résultats favorables à l'événement au nombre des résultats possibles.

MATHÉMATIQUES

Probabilité d'un événement

Une probabilité a les propriétés suivantes :
1° la fonction P est croissante : si A ⊂ B (A implique B), P(A) ≤ P(B). Ainsi, puisque
A⊂Ω, P(A)≤1 ;
2° la probabilité de l'événement impossible est nulle : P() = 0 ;
3° pour tout couple d'événements (A, B) de Ω, P(A ∪ B) = P (A) + P (B) − P(A ∩ B) ;
4° pour tout couple d'événements contraires,  ;
5° pour toute famille (Ai)i≤1≤n formant un système complet d'événements

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Histoire du calcul des probabilités

Les germes d'une première théorie des probabilités apparaissent dans la correspondance entre Pascal et Fermat, à propos d'un problème de jeu proposé par le chevalier de Méré à Pascal. Dans l'Ars conjectandi (1713), œuvre posthume, Jacques Bernoulli, généralisant un mémoire de Huygens (1657), systématise le calcul combinatoire, l'applique aux jeux de hasard et énonce la loi des grands nombres. Parallèlement, A. de Moivre publie en Angleterre un traité (Doctrine of Chance, 1718) qui influencera beaucoup Laplace, dont la Théorie analytique des probabilités (1812-1814) sera l'ouvrage de référence du xixe s. De son côté, Th. Bayes (1702-1761) aborde l'étude de la probabilité des causes, ou probabilité a priori, première tentative de mathématiser une notion « subjective », l'estimation des probabilités. En France, on note une désaffection des probabilités dans la seconde moitié du xixe s., en dépit des travaux de J. Bienaymé (1796-1878). Sous l'impulsion de la théorie de l'évolution de Darwin, une nouvelle école probabiliste (avec Galton, Pearson, R. A. Fisher) s'édifie en Angleterre pendant le dernier quart du xixe s. et fonde toute la statistique moderne. Vers la fin du xixe s., la vision probabiliste du monde va s'imposer encore davantage grâce au développement de la mécanique statistique et de la théorie cinétique de la matière. À la même époque, l'école russe de probabilités, à partir des travaux de Tchebychev (1821-1894), rend plus rigoureuse la théorie et l'élargit considérablement (avec les travaux de Markov notamment). Au xxe s., utilisant la notion de mesure et l'intégrale de Lebesgue, Émile Borel donne de la probabilité une définition rigoureuse. En 1933, Kolmogorov présente une axiomatique qui est largement acceptée.

Les principes

Lorsqu'une pièce de monnaie est lancée en l'air, elle retombe sur une de ses deux faces. Le résultat est a priori imprévisible et, si la pièce est équilibrée, il y a autant de chances que ce soit pile ou face. Ces deux événements sont dits « équiprobables ». Si la pièce n'est pas symétrique, elle tombera plus fréquemment sur un de ses côtés, constituant alors un événement plus probable. La probabilité d'un événement est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure les chances qu'il a de se réaliser. Généralement, l'événement est aléatoire, c'est-à-dire qu'il peut se produire sans que ce soit pour autant une certitude, et la probabilité ne prendra ni la valeur 0 (réalisation impossible), ni la valeur 1 (réalisation certaine).

De façon générale, la probabilité est le rapport du nombre de cas favorables à celui des cas possibles. Cette définition est valable dans les situations où le nombre de cas possibles est fini, tous les cas possibles étant supposés également possibles. Dans la théorie axiomatique, la probabilité est le réel P(A), P étant la mesure positive définie sur l'espace probabilisable (Ω, 𝓐) [où Ω est un ensemble d'événements et 𝓐 une tribu de parties de Ω] et A l'événement considéré.

Les applications

Les probabilités rencontrent aujourd'hui de très nombreuses applications, tant dans leurs secteurs « traditionnels » (statistiques, génétique, etc.) que dans des domaines aux développements plus récents (recherche opérationnelle, calculs de risques, aide à la décision [systèmes experts], intelligence artificielle, etc.).

PHYSIQUE

La physique quantique fait un usage extensif de la notion de probabilité. Chaque système quantique est en effet caractérisé par l'ensemble de ses états possibles, et le concept fondamental de la théorie est celui d'amplitude de transition, caractérisant la « transition » d'un état à un autre, sous l'effet d'une interaction. Cette amplitude est telle que le carré de son module soit égal à la probabilité (au sens ordinaire de ce mot) de la transition considérée.

Une amplitude d'intérêt particulier est celle qui, pour un quanton unique, caractérise la transition d'un de ses états quantiques vers un état de localisation en un point de l'espace. C'est la fonction d'onde de l'état en question.