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numération binaire

Système de numération de base 2, qui fait appel aux seuls chiffres 1 et 0. (Elle est utilisée en informatique.)

Pour pouvoir être traitées par un ordinateur, les informations sont représentées de manière binaire, c'est-à-dire par un phénomène physique à deux états représentés symboliquement par les éléments binaires (bits, abréviation de binary digits) 0 et 1 (le courant passe ou ne passe pas, condensateur chargé ou déchargé, aimantation dans un sens ou dans un autre, etc.). Le mathématicien et philosophe allemand Gottfried Leibniz (1646-1716) est l'un des premiers à étudier la numération binaire et à envisager de coder des informations par ce système. Au xixe s., le mathématicien anglais George Boole (1815-1864) développe une algèbre à base binaire (l'algèbre de Boole) qui fonde la logique moderne des propositions. Ces travaux sont à l'origine du traitement automatique des informations codées en binaire.

Le système binaire

De la même façon qu'avec dix chiffres différents on crée la numération décimale, on crée le système de numération binaire, ou de base 2, en n'employant que les symboles 0 et 1 : 0 se lit alors zéro, 1 un, 10 deux (c'est la base), 11 trois, 100 quatre, etc. L'arithmétique binaire (addition, multiplication…) permet d'effectuer des opérations selon des règles analogues à celles du système décimal.

La représentation des nombres dans un ordinateur

Les nombres (pour simplifier, nous ne considérons ici que des nombres entiers) sont représentés en mémoire par des suites d'éléments binaires. Par exemple, si l'on dispose seulement de 4 bits pour représenter un nombre, l'un des bits étant réservé à la représentation du signe (positif ou négatif), pour représenter la valeur absolue, il reste 3 bits, ce qui fait 23=8 possibilités, donc on peut représenter tous les nombres entiers entre −7 et +7.

La réalisation des opérations arithmétiques

Les opérations arithmétiques sont réalisées physiquement par des circuits électroniques qui sont des assemblages de « portes logiques » fonctionnant selon la logique de Boole.

On peut résumer ainsi l'idée directrice de cette logique : une proposition logique est soit vraie soit fausse, et peut être considérée comme une variable (au sens mathématique) qui prend, selon le cas, deux valeurs, 0 si elle est fausse, ou 1 si elle est vraie. L'étude des fonctions des variables indépendantes ainsi définies conduit Boole à retenir trois cas : la conjonction, appelée fonction ET ; la disjonction, appelée fonction OU ; la négation (ou complémentarité), dite fonction NON.

Le cas d'un circuit électrique



Pour qu'un circuit électrique devienne susceptible d'effectuer des calculs ou une opération logique, il suffit de convenir que l'état « le courant ne passe pas » correspond à 0 (ou à faux) tandis que l'état « le courant passe » correspond à 1 (ou à vrai).

L'appareil électrique le plus simple est l'interrupteur. Deux interrupteurs montés sur un circuit, de telle façon que, lorsque l'un est ouvert, l'autre est systématiquement fermé, matérialisent la fonction logique NON. Deux interrupteurs montés en parallèle matérialisent la fonction logique OU : pour que le courant passe dans le circuit, il faut que l'un ou l'autre soit fermé. Enfin, deux interrupteurs montés en série matérialisent la fonction logique ET : pour que le courant passe, il faut que l'un et l'autre soient simultanément fermés. On peut donc recourir à l'algèbre de Boole pour dessiner le schéma de circuits électriques capables de répondre à certaines conditions.

Concrètement, on n'emploie pas d'interrupteurs, mais des montages de composants tels que des diodes, des transistors, etc. Ces montages portent les noms de « circuit OU », « circuit ET », et « inverseur » (pour « circuit NON ») . Les circuits OU et ET reçoivent plusieurs informations à l'entrée et en fournissent une seule en sortie tandis qu'un inverseur fournit en sortie une réponse contraire à l'information unique qui arrive à l'entrée.

Ainsi est-il possible de montrer que toutes les opérations arithmétiques nécessaires au traitement des informations codées en binaire peuvent être réalisées en combinant convenablement plusieurs de ces « portes logiques ».