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numération

(latin numeratio, -onis)

Méthode qui permet l'écriture et la lecture des entiers naturels, puis, par prolongement, des décimaux et, par extension, des réels.

MATHÉMATIQUES

Un système de numération moderne est défini par le choix arbitraire d'une base de numération (naturel a égal au nombre de symboles appelés chiffres qui seront utilisés) et par certaines règles de position. Pour représenter et nommer les a chiffres, a symboles et a noms sont donc nécessaires. Le système le plus couramment utilisé est le système de numération décimale (a = 10), dont l'origine est presque certainement le nombre de doigts. Les symboles utilisés sont alors les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Le système de numération binaire (a = 2) est utilisé, pour des raisons d'ordre technologique, dans les machines, en particulier les ordinateurs électroniques. Les symboles utilisés sont alors les chiffres 0 et 1. Les calculatrices utilisent aussi le système en base 8, ou système octal. Le système sexagésimal (a = 60) est utilisé en particulier pour les mesures du temps et des angles.

La représentation écrite des naturels se fonde sur le fait que tout naturel peut se mettre de façon unique sous la forme d'une combinaison linéaire de puissances de la base choisie, les coefficients de la combinaison étant des naturels strictement inférieurs à la base (ces naturels pouvant être nuls).

Par exemple, en base 10 :
1 789 = 1 × 103 + 7 × 102 + 8 × 101 + 9 × 100.

Pour écrire 9 en base 2, on a
9 = 1 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20, d'où l'écriture de 9 en base 2 : 1 001.

L'utilisation des puissances avec, pour exposants, des entiers négatifs permet d'étendre aux décimaux le système des entiers. L'introduction d'un nouveau symbole (la virgule en France, le point dans les pays anglo-saxons et sur les calculatrices) est nécessaire pour séparer les coefficients des puissances d'exposants positifs des coefficients d'exposants négatifs.

Par exemple :
52,032 = 5 × 101 + 2 × 100 + 0 × 10−1 + 3 × 10−2 + 2 × 10−3.

À droite se trouve la suite des coefficients d'exposants négatifs, ou partie décimale (chaque coefficient est appelé une décimale), et à gauche se trouve la suite des coefficients d'exposants positifs, ou partie entière (celle-ci pouvant se réduire à l'élément zéro).

L'extension aux réels se fait à l'aide des suites dites décimales illimitées. Mais, dans la pratique, ces écritures sont inutilisables et on leur préfère, quand c'est possible, l'écriture sous forme de rationnel (1/3 pour 0,333…) ou les écritures telles que π, , etc. Le procédé utilisé pour les nombres décimaux dans le système de base 10 s'étend aux autres bases.