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constructivité

Caractère d'un énoncé ou d'une méthode mathématiques qui répond généralement à trois critères :
1. ne considérer que des sous-ensembles finis d'objets même dans le cas de collections infinies ;
2. ne pas affirmer l'existence d'un objet sans fournir le moyen de le construire ;
3. définir les fonctions utilisées de façon à pouvoir calculer leur valeur pour chaque valeur donnée de leur argument.

La nature de ces exigences explique qu'elles furent particulièrement défendues après la création par G. Cantor de la théorie des ensembles infinis. À la fin du xixe siècle, le grand champion des méthodes mathématiques constructives fut L. Kronecker, bientôt suivi par H. Poincaré. Mais ce sont plutôt des logiciens, notamment D. Hilbert, J. Herbrand, K. Gödel, qui ont essayé de définir le concept de méthode constructive en général, en s'inspirant d'ailleurs du modèle des méthodes arithmétiques. La définition originale de Hilbert s'accompagnait d'un programme dit « finitiste » : réduire toutes les mathématiques à leur partie constructive, l'arithmétique, en donnant de celle-ci une preuve constructive de cohérence. Ce programme dut être modifié après les résultats d'incomplétude de Gödel, qui montrèrent justement l'impossibilité d'une telle preuve en même temps que l'insuffisance d'une approche syntaxique des mathématiques. La définition des fonctions récursives allait cependant apporter le moyen de remplir, d'une façon exacte, les trois exigences énoncées ci-dessus.