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arithmétique

(latin arithmetica)

Étude des propriétés de l'ensemble des nombres rationnels.

Depuis l'Antiquité, les mathématiciens se sont intéressés à la recherche des propriétés des nombres. Pour les Babyloniens et les Égyptiens, les nombres entiers et fractionnaires restent étroitement liés à des besoins pratiques. Le caractère abstrait des nombres n'est explicitement reconnu que par l'école grecque des pythagoriciens (500 avant J.-C.). Les mathématiciens d'Alexandrie opèrent avec les nombres irrationnels. Les savants de l'Inde introduisent les nombres négatifs et le zéro. Par l'intermédiaire des Arabes, le système de numérotation positionnelle à base décimale avec zéro, probablement originaire de l'Inde, est diffusé en Occident vers le xie s. ou le xiie s. L'arithmétique s'y développe alors sous la pression des besoins pratiques du commerce, de la banque et de l'astronomie. Napier (1594), puis indépendamment Bürgi (vers 1600) inventent les logarithmes. Pascal invente une véritable machine arithmétique.

Pierre de Fermat (1601-1665) est le premier mathématicien des temps modernes à s'intéresser à la science des nombres. Les mathématiciens du xviiie s. tentent de démontrer les théorèmes de Fermat, qui se révèlent corrects à l'exception d'une erreur et d'un « théorème » toujours non démontré (xn + yn = zn n'a pas de solutions entières pour n > 2). Malgré les travaux importants d'Euler et de Le Gendre, la théorie des nombres reste, à la fin du xviiie s., un amas de propriétés isolées. Les Disquisitiones arithmeticae (1801) de C. F. Gauss, systématisant la théorie déjà existante tout en l'étendant, inaugureront une ère nouvelle. (→ théorie des nombres.)