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équation

(latin aequatio, -onis, égalisation)

Égalité qui n'est vérifiée que pour certaine(s) valeur(s) de la ou des inconnue(s).

ALGÈBRE

Une égalité de la forme f(x) = g(x), où f et g sont des applications de E dans F, est une équation, et x s'appelle l'inconnue. Les valeurs de x pour lesquelles l'égalité est vraie sont appelées les solutions, ou racines, de l'équation. Trouver l'ensemble des solutions d'une équation, c'est la résoudre. f(x) et g(x) s'appellent les membres de l'équation. Une équation peut avoir plusieurs inconnues (on les désigne en général par les lettres x, y, z) : on parle d'équation à une inconnue, à deux inconnues, …, à n inconnues.

Dans le cas où l'équation se présente sous la forme f(x) = b, où f est une application linéaire de l'espace vectoriel E dans l'espace vectoriel F et b l'élément de F, f(x) = b est appelée équation linéaire. Dans les cas où l'équation se présente sous la forme P(x) = 0, où P est un polynôme à coefficients, dans le corps ℂ, P(x) = 0 est appelée équation algébrique.

On peut être amené à chercher des solutions communes à plusieurs équations ; on parle alors de système d'équations.

L'étude des méthodes de résolution des équations conduit à l'étude des racines d'une équation (nombre de racines réelles, signe des racines, relation entre les coefficients et les racines, nombre de racines entre deux nombres donnés, etc.).

ASTRONOMIE

L'équation du temps, excès du temps solaire moyen sur le temps solaire vrai, résulte de l'addition de deux effets : celui dû à ce que l'orbite de la Terre n'est pas circulaire et celui dû à l'inclinaison de l'axe des pôles par rapport à la perpendiculaire au plan de l'orbite terrestre. Au cours de l'année, elle oscille de manière non sinusoïdale autour de la valeur 0. Elle atteint sa valeur maximale (14 min 15 s) le 11 février, sa valeur minimale (− 16 min 25 s) le 4 novembre et s'annule le 16 avril, le 14 juin, le 1er septembre et le 24 décembre. À ces variations correspondent celles de l'heure de passage du Soleil au méridien d'un lieu (midi vrai). L'équation du temps constitue l'une des corrections qu'il faut effectuer pour passer de l'heure fournie par un cadran solaire à l'heure légale.

CHIMIE

Un grand nombre de réactions chimiques appartiennent à l'une des 4 classes suivantes :
– combinaison, A + B → AB ;
– décomposition, AB → A + B ;
– déplacement, AB + C → CB + A ;
– échange, AB + CD → AD + CB.

L'équation sert de base à de nombreux calculs : masse, volume gazeux des réactifs et des produits (stœchiométrie). Elle donne également souvent la quantité d'énergie mise en jeu (thermochimie).

GÉOMÉTRIE

Équation cartésienne

Si l'ensemble de points à caractériser est une courbe du plan E2 ou une surface de E3, son équation cartésienne est de la forme f(x1, …, xn) = 0, En (n = 2 ou 3) étant rapporté à un repère affine (O, e1, …, en). Dans le cas d'une courbe de E3, un système de deux équations de la forme précédente est nécessaire. Les droites et les plans correspondent au cas où f est une fonction polynôme de degré 1, respectivement dans E2 et E3, les coniques et les quadriques au cas où f est de degré 2.

Équation vectorielle

Dans un espace affine rapporté à un repère, une droite (AB) a une équation vectorielle de la forme

, où λ∈ ℝ (ou plus classiquement ).

Pour un plan (ABC), elle est de la forme

, où (λ, μ) ∈ ℝ2 et où A, B et C sont des points non alignés, ou encore

.

MÉTROLOGIE

L'équation de dimensions est une formule indiquant comment, dans un système cohérent de grandeurs, une grandeur dérivée dépend des grandeurs de base. Si l'on convient de représenter par L, M et T les grandeurs de base, longueur, masse et temps, l'équation de dimensions d'une surface (produit de deux longueurs) est S = L2 ; celle d'une vitesse (quotient d'une longueur par le temps), V = LT−1 ; celle d'une force (produit d'une masse par une accélération), F = LMT−2 ; celle d'une pression (quotient d'une force par une surface), P = L−1MT−2 ; etc. Les unités correspondantes (unités de base et unités dérivées), liées entre elles par les mêmes équations, forment un système cohérent d'unités.