• Le modèle peut être déterministe ou stochastique (on dit aussi « aléatoire » ou « probabiliste »), selon que les relations entre les variables sont du type certain ou du type aléatoire (calcul des probabilités). Il est indispensable de faire appel à des modèles stochastiques lorsque les causes sont trop nombreuses et trop complexes pour être analysées finement (par exemple mécanique statistique, cours de Bourse) ou lorsque c’est une caractéristique fondamentale de la réalité (par exemple mécanique quantique).
Les modèles statiques déterministes sont exprimés par des relations explicites y = g(u) ou implicites f(y, u) = 0 entre les variables d’entrée (cause) u et les variables de sortie (effet) y.
Les modèles statiques aléatoires font intervenir les descriptions mathématiques possibles du couple de variables aléatoires (y, u), comme les lois de probabilité, les coefficients de corrélation, etc.
Les modèles dynamiques déterministes sont exprimés par :
1^o des équations d’évolution le plus souvent différentielles
g étant une fonction ;
2^o des équations aux dérivées partielles
A étant un opérateur ;
3^o des équations aux différences ou récurrentes x_n+1 = g_n(x_n, u_n), selon que l’échelle des temps est considérée continue ou discrète. Les variables intermédiaires x intervenant dans ces équations portent le nom d’état du système ou du processus considéré.
Les modèles dynamiques stochastiques font intervenir la notion de fonction aléatoire ou de processus stochastique. Il existe plusieurs types de description : lois de probabilité, moyenne et covariance, densité spectrale, etc. La notion de processus markovien joue ici un rôle essentiel, analogue à celui d’état pour les modèles dynamiques déterministes.

Simulation numérique

Les modèles mathématiques précédents ne présentent d’intérêt que dans la mesure où il existe des techniques pour les utiliser effectivement : on dit alors que l’on simule numériquement l’objet, le système ou le processus considéré. L’analyse numérique et les techniques de calcul automatique (informatique) ont ainsi une importance fondamentale, fixant la limite de complexité des modèles qu’il est possible d’envisager. Le développement de l’informatique depuis 1950 a fait reculer de façon considérable cette limite ; par exemple, le guidage des fusées et des véhicules spatiaux, l’analyse de grands systèmes économiques, météorologiques, etc., ne pourraient être envisagés sans calculateurs électroniques.

Modèles physiques, analogie et calculateur analogique

Il est possible de représenter un système non par un ensemble de relations mathématiques, mais par un autre système physique. Ce système est dit analogue au premier. L’analogie électromécanique consiste ainsi à représenter le comportement d’un système mécanique par celui d’un réseau électrique, plus facile à réaliser et à observer. Les cuves rhéoélectriques sont d’autres exemples de simulation analogique.

Il existe aussi, d’une part, des simulateurs permettant l’entraînement d’opérateurs humains à des tâches difficiles sur des systèmes complexes, comme le pilotage d’un avion, et d’autre part, des calculateurs analogiques. Ceux-ci, constitués d’éléments standards tels qu’amplificateurs, intégrateurs, etc., qui peuvent être connectés entre eux à la demande, permettent de faire une simulation analogique de systèmes représentés par des équations différentielles, les tensions électriques étant proportionnelles aux variables considérées.

Sans qu’il y ait une science des modèles et de leur exploitation (car toute science a ses modèles), on peut dire que l’étude, en tant que chapitres des mathématiques appliquées, des modèles et de leurs propriétés est un caractère privilégié de la recherche opérationnelle, de l’informatique et de l’automatique.

P. F.