Grande Encyclopédie Larousse 1971-1976Éd. 1971-1976
M

mécanique analytique (suite)

Les équations de Lagrange


Coordonnées généralisées

1. L’état du système est défini par les valeurs des variables indépendantes a, b, c, ..., auxquelles les coordonnées de tous les points du système sont liées par les équations suivantes :

Par hypothèse, dans ces équations, les variables a, b, c, ... (qui sont des fonctions du temps) n’entrent que par elles-mêmes (et non par leurs vitesses, leurs accélérations, etc.). Quand il en est ainsi, le système est dit « holonome ». Il s’agit d’exprimer l’équilibre dynamique, au moyen des variables a, b, c, ... ; c’est un simple changement de variables.

2. On a par définition :

En effet, x et a varient simultanément ; on obtient évidemment le même résultat en prenant le quotient de ces variations ou le quotient de leurs vitesses. On a

À partir de l’équation (IV), on trouve immédiatement :

en vertu des relations :

En effet, b est une variable indépendante qui, par définition, est invariable quand on s’occupe des variations de a.
D’où
(relation, au surplus, évidente).

Pour obtenir les déplacements virtuels δx, δy, ..., on suppose le temps invariable et l’on donne un déplacement compatible avec les liaisons telles qu’elles existent à l’instant considéré :

Le travail virtuel a pour expression

A, B, C, ... désignant les forces écrites dans le système des variables, a, b, c, ...
Par définition, on a


Expression des équations de Lagrange

1. Soit L une fonction des variables x, y, ..., x′, y′, ..., et du temps t. On a

En effet, par hypothèse, a′, b′, ... n’entrent pas dans les expressions de x, y, ... On a

D’où la relation qui ne suppose rien sur le sens mécanique de la fonction L :

2. Si l’on prend pour fonction L l’énergie cinétique T du système, on a

L’équation de d’Alembert permet d’écrire :

En remplaçant les quantités δx, δy, ... par leurs valeurs pour la variation indépendante δa, on obtient

d’où les équations de Lagrange :


Existence d’un potentiel

Il existe un potentiel quand on a :

Par hypothèse, U ne dépend que de a, b, c, ...
Les équations de Lagrange prennent la forme :

En posant T – U = H, on obtient

La quantité H est la fonction de Lagrange ; c’est la différence entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle. On peut aussi bien écrire :


Principe de Hamilton

Les équations de Lagrange permettent d’établir une loi générale de la dynamique, connue sous le nom de principe de Hamilton.

« Lorsqu’on substitue au mouvement réel du système un mouvement infiniment peu différent, compatible avec les liaisons du système, et tel qu’à deux instants arbitrairement choisis t1 et t2 la position du système soit la même que dans le mouvement réel, la variation de l’intégrale définie est nulle. »

Cet énoncé n’est valable que dans le cas où il existe un potentiel U, on a alors :

ou, ce qui revient au même :

Au lieu de l’intégrale I, on peut considérer l’expression qui représente la valeur moyenne de T – U dans l’intervalle t2 – t1, et écrire que cette valeur moyenne est minimale dans le mouvement réel. La différence T – U est souvent désignée sous le nom d’action du système, et l’on donne alors au principe de Hamilton le nom de principe de la moindre action, bien que, au xviiie s., Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759) ait désigné sous ce nom un principe tout différent.

Dans le cas où les liaisons sont indépendantes du temps, le théorème des forces vives montre que la somme T + U est constante. Les deux fonctions T et U doivent alors satisfaire à la double condition que leur somme soit constante et que la valeur moyenne de leur différence soit minimale.

S’il n’y a pas de forces extérieures, la fonction U est l’énergie potentielle ; d’autre part, la fonction T est dans tous les cas l’énergie cinétique. « Dans un système isolé (c’est-à-dire sans forces extérieures), pour lequel les liaisons sont indépendantes du temps, l’énergie totale est constante et la valeur moyenne de la différence entre les deux formes d’énergie est minimale. »

Ces deux principes, principe de Hamilton et principe de la moindre action, sont le point de départ d’une mécanique physique dans laquelle on considère uniquement l’énergie des systèmes en laissant de côté la notion des points matériels : c’est la mécanique dite « énergétique ».

M. D.

 E. Mach, Die Mechanik in ihrer Entwicklung historisch-kritisch dargestellt (Leipzig, 1879 ; 8e éd., 1921 ; trad. fr. la Mécanique, Hermann, 1925). / H. Bouasse, Cours de mécanique rationnelle et expérimentale (Delagrave, 1910). / L. Lecornu, Cours de mécanique (Gauthier-Villars, 1914-1918 ; 3 vol.). / P. Painlevé, Cours de mécanique de l’École polytechnique, t. I (Gauthier-Villars, 1922). / J. Chazy, Cours de mécanique rationnelle, t. I : Dynamique du point matériel (Gauthier-Villars, 1933 ; nouv. éd., 1941). / A. T. Lur’é, Mécanique analytique (trad. du russe, Masson, 1968 ; 2 vol.). / R. Campbell, la Mécanique analytique (P. U. F., coll. « Que sais-je ? », 1971).

mécanique céleste

Discipline traitant des lois régissant les mouvements des corps célestes.



Mécanique générale et mécanique céleste

• La mécanique générale est la branche des mathématiques qui traite du mouvement des corps. Elle fait appel à la notion de point matériel défini par sa masse et sa position par rapport à un repère. Cette position sera connue si l’on se donne, par exemple, les trois coordonnées x, y, z du point par rapport à des axes de coordonnées liés au repère. Ces coordonnées sont les composantes du vecteur , O étant l’origine des axes et M le point matériel considéré. Le point étant mobile, le vecteur et donc les coordonnées x, y, z sont des fonctions du temps t. Le vecteur dont les composantes sont les dérivées par rapport à t de x, y, z est le vecteur vitesse de M, et sa grandeur est la vitesse de M. Il est tangent en M à la trajectoire de M et dirigé dans le sens du mouvement. Le vecteur dont les composantes sont les dérivées secondes par rapport au temps, c’est-à-dire les dérivées des dérivées, est le vecteur accélération de M. S’il est nul, le point M a un mouvement rectiligne et uniforme, c’est-à-dire que le point M décrit une droite avec une vitesse constante. La mécanique fait appel à la notion de force. Une force appliquée au point matériel M de masse m est un vecteur que l’on suppose donné par les conditions physiques du problème posé, et dont les composantes sont des fonctions des coordonnées du point M, des composantes de sa vitesse et éventuellement du temps. Si le repère de coordonnées choisi est fixe, ou tout au moins si son origine a un mouvement rectiligne et uniforme par rapport à un repère fixe, les axes conservant des directions fixes (repère dit « galiléen »), le vecteur est lié au vecteur par la relation