Si maintenant on considère les champs et en un point M, fixe pour R, les champs et mesurés en M par un observateur de R′ sont donnés par les relations suivantes :

dans lesquelles sont les composantes de parallèles à et les composantes normales à Ces transformations sont beaucoup plus compliquées qu’avec les quadrivecteurs, d’où l’idée de chercher à n’utiliser que ces derniers. Les potentiels et V en donnent la possibilité.

L’équation (16) s’écrit compte tenu de (15) et (18)

Or, si on pose u = jct, il vient

d’où

A apparaît comme un quadrivecteur, et on écrira

□ A se lisant : « d’alembertien de  ».
De même, l’équation (17) devient :

Vu (18), soit

On peut fondre en une seule équation (16′) et (17′). Soit en effet une charge volumique ρ₀ fixe pour R′. Pour R, elle apparaît comme valant

et crée au point M(x, y, z, t) la densité de courant dont les composantes dans R sont

On peut introduire la 4^e coordonnée de M ; u = jct, d’où la 4^e composante de  :

Or, de (17′), il vient :

Par ailleurs, de (16′), il vient :

Finalement, si nous formons :
— d’une part le quadrivecteur potentiel dont les composantes sont A_x, A_y, A_z et c’est-à-dire dont les composantes spatiales sont celles de et la composante imaginaire
— d’autre part le quadrivecteur source dont les composantes sont J_x, J_y, J_z et jcp (c’est-à-dire J et jcp), les équations 17″ et 16″ se fondent en

forme la plus condensée des équations de Maxwell. Elle implique (15) et (18).

Sous cette forme de quadrivecteurs, le passage d’un référentiel R à un R′ se fera plus facilement (G2). On reviendra à et par et

Potentiels retardés

Considérons une région de l’espace dépourvue de charges (16) et (17) deviennent

Ce sont des équations de propagation. Les potentiels se propagent à vitesse

Envisageons par exemple une charge ponctuelle q placée en un point O et capable de varier (fig. 7). Le potentiel qu’elle crée en M variera, mais avec un décalage dans le temps par rapport aux variations de q. Plus précisément, le potentiel à l’instant t en M sera

où représente la charge en O à l’instant

Plus généralement, on vérifiera que toute fonction satisfait bien a
représente une propagation dans le sens des r positifs (O vers M sur la figure) ; une propagation dans le sens des r négatifs, qui n’a pas de signification dans l’exemple actuel.

La fonction V_M est dite « fonction potentiel retardé ». Il en va de même du potentiel vecteur Si, dans le volume dv entourant O, il existe une densité de courant fonction du temps t, le potentiel résultant en M sera

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique infini non chargé

• Milieu parfait : μ et ε sont des constantes, et γ ≡ 0.
et V se propageant, il en est de même de et D’ailleurs, les équations (1) (2) (3) (4) devenant

on en tire

On retrouve bien les équations de propagation à vitesse
En cas particulier, on peut examiner une propagation en ondes planes, c’est-à-dire se faisant selon une seule direction (Oz par exemple sur la figure 8). En tout point d’un plan parallèle à Ox, Oy, on retrouve les mêmes états de vibration pour (et pour ). Autrement dit,
Or,
Par suite E_z = 0. Le champ est normal à Oz. Choisissons alors l’axe Ox parallèle à

De il vient

À une constante près (qui correspondrait à une absence de propagation).
H_x = 0, H_z = 0.
Le champ H est parallèle à l’axe Oy.

Finalement, les deux champs et se propagent perpendiculairement l’un à l’autre et sont de plus perpendiculaires à la direction de propagation Oz. Plus précisément, le trièdre est direct. En outre, le rapport est indépendant du temps en tout point et vaut impédance du milieu. Si E et H sont des fonctions sinusoïdales du temps, elles sont en phase.

Enfin, l’énergie volumique électromagnétique vaut

Elle se propage dans le sens de , c’est-à-dire du vecteur et a pour valeur instantanée

P est dit « vecteur de Poynting ».

• Milieu imparfait : ε n’est plus une constante, et l’équation (2) devient :

Dans le cas général, on ne sait pas résoudre les équations. Cependant, lorsque E est une fonction sinusoïdale du temps de la forme E = E_m · cosωt, on peut écrire avec une approximation D = D_m cos (ωt + θ), ce qui revient à assimiler à une ellipse la courbe D = f(E), cycle d’hystérésis diélectrique. On peut alors utiliser les notations imaginaires D = ε · E, où ε est maintenant une constante, mais complexe. On est ramené à l’étude précédente avec une vitesse complexe

et une équation de propagation

La solution, pour une onde plane, est de la forme E = E₀ e^– ax e ^{j (ωt + bx)}, avec  cos φ et

Parallèlement, H = H₀ e^– ax e ^{j(ωt + bx)}.
Les ondes sont progressivement absorbées par le milieu, leur énergie se transformant en chaleur par pertes diélectriques.

C. T.