matrice d’une application linéaire (suite)
Il est bien plus simple d’utiliser une base de vecteurs propres et de faire tout calcul portant sur f dans cette base, puisque la matrice A′ est diagonale ; il en est alors de même de A′2, ..., de A′p pour tout entier p naturel ou même relatif si cela est possible. De plus, si A′ = P–1 AP, on a :
A′n = (P–1 AP) (P–1 AP) ... (P–1 AP),
A′n = P–1 A (PP–1) A (PP–1) ... AP = P1 An P
d’où
An = PA′n P–1,
ce qui permet le calcul de An quand on connaît P, d’où P–1 et A′n qui est diagonale.
Théorème de Cayley-Hamilton. Polynôme minimal d’une matrice
Toute matrice carrée A vérifie son équation caractéristique. Si
λn – a1 λn–1 + a2λn–2 + ... + (– 1)n an = 0
est l’équation caractéristique de la matrice A, et I = A0, A, A2, ..., An, les n + 1 premières puissances de A, on a la relation
An – a1 An–1 + a2 A n–2 + ... + (– 1)n an I = 0
Mais il se peut que la matrice A vérifie une équation de degré inférieur à celui de l’équation caractéristique, obtenue en égalant à zéro le polynôme minimal.
Le polynôme minimal de la matrice A est le polynôme de plus bas degré, à coefficients dans le corps K, annulé par la matrice A. On peut supposer que le coefficient de son terme de plus haut degré est égal à 1, comme pour le polynôme caractéristique. Le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique ; de plus, ces deux polynômes ont exactement les mêmes racines. Seul l’ordre de multiplicité de ces racines diffère éventuellement. Pour qu’une matrice A soit diagonalisable, c’est-à-dire pour qu’on puisse choisir une base de vecteurs propres, il faut et il suffit que son polynôme minimal n’ait que des racines simples. C’est le cas, en particulier, quand le polynôme caractéristique n’a que des racines simples.
E. S.
➙ Algébrique (équation) / Conique / Déterminant / Espace euclidien de dimension trois / Forme linéaire / Hermitien (espace) / Linéaire (application) / Quadratique (forme) / Quadrique / Vectoriel.
R. Deltheil, Compléments de mathématiques générales à l’usage des physiciens et ingénieurs, t. I : Algèbre linéaire et calcul différentiel (Baillière, 1953). / A. Lichnerowicz, Algèbre et analyse linéaires (Masson, 1956). / P. Dubreil, M. L. Dubreil-Jacotin, Leçons d’algèbre moderne (Dunod, 1961). / H. Blanchard et C. Forest, Traité de mathématiques (Hachette, 1966). / L. Chambadal et J. L. Ovaert, Cours de mathématiques (Gauthier-Villars, 1966-1972 ; 3 vol.). / J. Lelong-Ferrand et J.-M. Arnaudiès, Cours de mathématiques, t. I : Algèbre M. P. Spéciales A, A′ (Dunod, 1971).