Grande Encyclopédie Larousse 1971-1976Éd. 1971-1976
L

logiques modales (suite)

Une autre question se présente. La définition des ebf permet de réitérer les modalités, de sorte que □□ p, □□□ p, ~ □ ~ ~ □ ~ p, c’est-à-dire ⃟ ⃟ p, etc., sont bien formées. On peut douter qu’il soit « naturel » de distinguer « p est nécessaire » de « il est nécessaire que p soit nécessaire ». On pourrait donc souhaiter avoir une loi de réduction : □ □ p ≡ □ p. Or, si □ □ p ⊃ □ p est bien un théorème de t, la réciproque ne l’est pas. Il en résulte que t contient une infinité de modalités différentes.

On démontre enfin que t est consistant par rapport à la négation, donc qu’on ne peut y démontrer simultanément une expression de la forme P et une expression de la forme ~ P.


La réduction des modalités

Réduire le nombre des modalités de t exige l’introduction d’axiomes supplémentaires. Voici deux façons d’y parvenir.


Le système S4

Ajoutons aux axiomes de t l’axiome
a6 □ p ⊃ □□ p
On obtient un système appelé s4 dans la terminologie classique depuis Lewis-Langford (1932). C’est un système lui aussi consistant et qui est caractérisé par une famille de théorèmes de réduction :

Ces théorèmes permettent de ne considérer qu’un nombre fini de modalités, en ce sens qu’une proposition comme □□ p, par exemple, est équivalente à la proposition □ p.

Pour déterminer ce nombre, notons qu’une modalité se présente comme une suite de signes □, ⃟ et ~ et que — grâce à des théorèmes qui figurent déjà dans t — on peut toujours s’arranger pour avoir au plus un signe ~ immédiatement avant p. Ainsi, par exemple :
~ □□ ~ ⃟ ~ p ↔ ⃟ ~ □ ~ ⃟ ~ p ↔
↔ ⃟⃟ ~ ~ ⃟ ~ p ↔ ⃟⃟⃟ ~ p.

Les deux premiers théorèmes permettent ensuite de ne jamais écrire deux □ (deux ⃟) à la suite l’un de l’autre, et les deux autres de ne jamais écrire plus d’un groupe □⃟ ou ⃟□ de suite. Il reste alors la double liste suivante :
p, □p, ⃟p, □⃟p, ⃟□p, □⃟□p, ⃟□⃟p ;
p, □ ~ p, ⃟ ~ p, □⃟ ~ p, ⃟□ ~ p, □⃟□ ~ p, ⃟□⃟ ~ p ;
soit 14 modalités : 12 modalités propres et 2 modalités impropres (p et ~ p) selon la terminologie reçue.

Il existe d’ailleurs des implications entre elles, représentées ci-dessous par des flèches :

Remarque.
Le système s4 offre un intérêt mathématique considérable en ce sens qu’il est susceptible d’une interprétation topologique simple. On pourra s’en rendre intuitivement compte en posant les interprétations suivantes :
p s’interprète comme un ensemble X ;
□ s’interprète comme l’opérateur i : prendre l’intérieur de ;
⃟ s’interprète comme l’opérateur f : prendre la fermeture de.
Aux implications du diagramme ci-dessus correspondent alors des inclusions d’ensembles.

Il reste que, au niveau des propositions, il peut paraître délicat de donner une signification précise à des expressions comme « il est possible qu’il soit nécessaire que p soit possible », et que l’on peut chercher à réduire encore le nombre des modalités.


Le système S5

Il suffit d’ajouter aux axiomes de s4 l’axiome a7 : ⃟p ⊃ □ ⃟ p, pour obtenir le système s5, lui aussi consistant. En fait, l’axiome a7 dispenserait de a6, qui figurerait alors comme un théorème. Mais l’important est de noter qu’on a maintenant :
⊢ □ p = ⃟ □p et ⊢ ⃟ p = □ ⃟ p.
On aura donc les nouvelles équivalences :
□ ⃟ □p ↔ ⃟ □ p ↔ □ p ;
⃟ □ ⃟ p ↔ □ ⃟ p ↔ ⃟ p ;
Il ne reste donc plus que 6 modalités : 4 modalités propres (□ p, ⃟ p, □ ~ p, ⃟ ~ p) et les 2 modalités impropres.

Le système s5 est celui qui semble le plus proche des modalités aristotéliciennes. Il satisfait en tout cas au carré des oppositions (v. syllogisme).

Disons que deux propositions P et Q sont contraires si elles ne peuvent être vraies ensemble, sont subcontraires si elles ne peuvent pas être fausses ensemble, sont contradictoires si elles ne peuvent être ni vraies ni fausses ensemble.

On aura alors le schéma de la figure 1.

Nous avons mis « contingent » entre guillemets, dans la mesure où l’idée naïve de non-nécessité ne cadre pas toujours avec celle de contingence.


L’implication stricte

Ainsi qu’on a pu le constater, l’introduction des modalités permet d’envisager deux types de conditionnelles : ⊃ et ≺, et donc deux sortes d’implication : l’implication matérielle ⊢ P ⊃ Q et l’implication stricte ⊢ P ≺ Q.

La recherche d’une implication plus contraignante que l’implication matérielle a donné lieu à de nombreux travaux, dont le point de départ se trouve chez Lewis-Langford déjà cités.

Considérons les deux théorèmes classiques suivants :

La table de vérité de ⊃ (v. calcul des propositions) montre que, dans le cas de (1), il suffit que p soit vraie pour que, quelle que soit la valeur de q (vraie ou fausse), la proposition q ⊃ p soit vraie ; (1) pose donc, comme on le dit parfois, qu’une proposition vraie est impliquée par n’importe quelle autre proposition. Une analyse semblable conduit à dire que (2) pose qu’une proposition fausse implique n’importe quelle autre, même vraie.

On a vu dans ces théorèmes des paradoxes de l’implication matérielle. En fait, ils ne sauraient être paradoxaux que relativement à l’idée naïve que l’on se fait de la relation « implique », laquelle ne tient certainement pas compte uniquement des valeurs de vérité des propositions en jeu, comme le font les tables de vérité.

Poser p ⊃ q revient, en logique classique, à poser qu’on n’a pas simultanément p vraie et q fausse, de sorte qu’on pourrait écrire : p ⊃ q = df ~ ⃟ (p ⋀ ~ q).