Grande Encyclopédie Larousse 1971-1976Éd. 1971-1976
L

logique (suite)

Löwenheim

Leopold Löwenheim a démontré en 1915 le théorème célèbre qui porte son nom. On lui doit également un certain nombre d’autres résultats concernant la métathéorie du calcul des prédicats du premier ordre, comme par exemple la démonstration du fait qu’il existe une procédure de décision effective pour le calcul des prédicats du premier ordre à une place d’argument (1915).


Skolem

Thoralf Skolem (1887-1963) a apporté, comme on l’a déjà signalé, une contribution décisive à la constitution de la théorie axiomatique moderne des ensembles. On lui doit en outre une démonstration nouvelle et une généralisation du théorème de Löwenheim, et un certain nombre de résultats en rapport avec le problème de la décision pour le calcul des prédicats du premier ordre. Skolem a démontré que l’on pouvait faire correspondre à toute expression bien formée de ce calcul une forme standard, la forme normale de Skolem, qui joue un rôle décisif dans la démonstration de complétude qui a été donnée en 1930 par Gödel pour le calcul en question. Dans un texte fondamental paru en 1923, il a jeté les bases de l’arithmétique récursive, une discipline qui devait connaître par la suite des développements considérables. Il a établi (1933, 1934) l’impossibilité de caractériser complètement la suite des nombres naturels à l’aide d’un nombre fini ou même d’une infinité dénombrable d’axiomes écrits dans la notation du calcul des prédicats du premier ordre avec égalité, c’est-à-dire l’existence de modèles « non standards » pour l’arithmétique du premier ordre.


Post

Emil L. Post (1897-1954) a fourni en 1921 la première étude métathéorique d’envergure sur le calcul propositionnel bivalent présenté sous forme de système formel, avec notamment des démonstrations de consistance et de complétude. On lui doit également la première formulation d’un calcul propositionnel plurivalent d’un point de vue purement abstrait, c’est-à-dire sans qu’il soit fait référence à une interprétation particulière. Par la suite, Post a apporté une importante contribution à un certain nombre de questions qui ont trait au problème de la décision et à la clarification de la notion d’effectivité.


Łukasiewicz

Jan Łukasiewicz (1878-1956) a proposé en 1920 un calcul propositionnel trivalent en rapport avec la théorie aristotélicienne des futurs contingents. La troisième valeur de vérité correspond approximativement, dans ce calcul, au possible ou au contingent. Par la suite, indépendamment de Post, Łukasiewicz a effectué la généralisation à des calculs plurivalents quelconques (Łukasiewicz, 1929, 1930 ; Łukasiewicz et Tarski, 1930). On lui doit également des travaux importants sur le calcul propositionnel bivalent classique et sur l’histoire de la logique (notamment sur la syllogistique aristotélicienne).


Tarski

Alfred Tarski (né en 1902) a contribué par un grand nombre de publications au développement des recherches sur le calcul propositionnel bi- et plurivalent. Mais ses travaux les plus importants sont certainement ceux qui ont porté, à partir de 1930, sur la métathéorie des systèmes formels en général. Dans ce domaine, Tarski peut être considéré comme le créateur d’une branche nouvelle, la sémantique logique, qui traite de notions comme celles de signification et de vérité en rapport avec des systèmes formels. Dans un texte classique paru en 1936, Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, il a résolu le problème qui consiste à trouver pour un système formel S d’un certain type une définition de « vrai dans S » dans un métasystème approprié. Mais l’œuvre de Tarski montre qu’en un certain sens la sémantique peut être réduite à la syntaxe, puisqu’elle fournit la possibilité de trouver, pour un langage formalisé donné, une propriété purement syntaxique des expressions bien formées qui coïncide en extension avec la propriété sémantique d’être une proposition vraie (ou une relation syntaxique qui coïncide en extension avec la relation sémantique qui consiste dans le fait de satisfaire une forme propositionnelle).

Les travaux plus récents de Tarski ont porté notamment sur la théorie des modèles, sur certains domaines qui occupent une position intermédiaire entre la logique et les mathématiques et sur l’application des méthodes et des résultats de la logique moderne à certaines branches particulières des mathématiques. On lui doit en particulier un certain nombre de résultats concernant le problème de la décision dans le cas de l’arithmétique, de la théorie élémentaire des groupes, de l’algèbre et de la géométrie élémentaires.


Carnap

Les travaux de Rudolf Carnap (1891-1970) ont porté plus sur la philosophie de la logique et sur l’application des méthodes de la logique moderne à l’épistémologie et à la philosophie des sciences que sur la logique proprement dite. Son œuvre a une étendue et une importance qui excèdent de beaucoup celles de la contribution qu’il a apportée au développement d’une tendance philosophique particulière (le néo-positivisme logique). Dans Der logische Aufbau der Welt (1928), un ouvrage inspiré directement de Russell et des Principia mathematica, Carnap s’était efforcé de mener à bien une reconstruction rationnelle du monde à partir de certaines données fondamentales de l’expérience immédiate en utilisant les techniques de la logique symbolique. Ses travaux sur la métathéorie des systèmes formels commencent avec Logische Syntax der Sprache (1934), dont une traduction anglaise augmentée a été publiée en 1937. Carnap y étudie la possibilité d’appliquer à une langue tout à fait quelconque la méthode de traitement purement formel de la syntaxe qui avait été inaugurée par Hilbert dans le cas du langage mathématique. Dans un article publié en 1935, postérieur à l’original polonais (1933), mais antérieur à la version allemande (augmentée d’un important appendice) du Wahrheitsbegriff de Tarski, Carnap pose et résout (pour un langage formalisé en fait plus fort que ceux qui avaient été considérés par Tarski) le problème qui consiste à trouver des équivalents syntaxiques pour les notions de vérité d’une proposition et de réalisabilité d’une forme propositionnelle. On trouve un exposé systématique de la sémantique carnapienne dans Introduction to Semantics (1942). Dans Meaning and Necessity (1947) et dans un certain nombre d’autres publications, Carnap s’est attaqué au problème de la clarification des notions fondamentales de la sémantique et de la logique modale. Il faut signaler également ses travaux sur la logique inductive et la théorie des probabilités, notamment Logical Foundations of Probability (1951).