Loi de probabilité d’une variable aléatoire continue X susceptible de prendre toute valeur réelle x et telle que

m et σ étant deux paramètres réels.
La fonction f est la densité de probabilité ; la fonction F définie par est la fonction de répartition de la variable aléatoire X. Par le changement de variable l’espérance et la variance de X sont respectivement m et σ² : E(X) = m ; V(X) = σ².

Courbe en cloche

La courbe représentative des variations de la fonction f est appelée courbe en cloche ou courbe de Laplace-Gauss. En effectuant une translation des axes (x₁ = x – m, y₁ = y), puis une affinité orthogonale d’axe Ox et de rapport σ(x₂ = x₁, y₂ = σy₁), enfin une affinité orthogonale d’axe Oy et de rapport

l’équation y = f(x) se réduit à

Cette équation est un cas particulier de y = f(x) ; c’est le cas où m = 0 et σ = 1, qui correspond à une variable centrée d’espérance nulle et d’écart type égal à 1. La courbe représentative correspondante Г(0, 1) donne l’allure de toutes les autres courbes Г(m, σ) pour m et σ réels.

Terminologie

La loi de Laplace-Gauss est aussi appelée loi de Gauss. En fait, Pierre-Simon de Laplace (1749-1829) découvrit cette loi en 1780 quand Carl Friedrich Gauss (1777-1855) avait trois ans. On utilise aussi beaucoup la dénomination de normale pour désigner la loi de Laplace-Gauss ou une variable aléatoire suivant cette loi.

Tables de la loi normale

Ces tables donnent les valeurs de

pour certaines valeurs de x : ce sont les valeurs de la fonction de répartition F(x) qui sont importantes pour calculer des probabilités attachées à des variables normales.

Usage de la table de la fonction F

Cette table donne les valeurs de

pour les valeurs positives de X seulement. Ainsi, par lecture directe,
Prob{X < 1,23} = 0,890 7 = F(1,23).
La symétrie du graphe Γ(0, 1) permet d’évaluer F(x) pour x < 0 ; il suffit, pour cela, de remarquer que F(x) = 1 – F(– x) ; ainsi,
F(– 0,84) = Prob{X < – 0,84} = 1 – F(0,84) = 1 – 0,799 5 = 0,200 5.

Recherches de certaines probabilités liées à la fonction F

Par lecture directe de la table, on n’obtient que des probabilités du type :
Prob {X < x} = F(x) ;
mais on peut être amené à calculer d’autres probabilités.

1. 
Les événements {X < x} et sont complémentaires. La somme de leurs probabilités est égale à 1 ; par suite :

2. 
F(x₁) = Prob {X < x₁} ; F(x₀) = Prob {X < x₀}
par différence,
Ainsi,

Cas particulier : x₀ = – x₁ = – h, h > 0. C’est le cas d’un intervalle centré ; par suite,

car F(– h) = 1 – F(h).
On peut encore écrire : Prob {| X | < h} = 2F(h) – 1,
probabilité pour que X soit, en valeur absolue, inférieur à h. On trouvera ainsi que
| X | < 1 avec une probabilité de 0,683 ;
| X | < 2 avec une probabilité de 0,954 ;
| X | < 3 avec une probabilité de 0,997 ;
Par conséquence, Prob {| X | > h] = 2 – 2F(h) = 2[1 – F(h)].

3. Un problème que l’on rencontre souvent est le cas d’une variable non centrée et non réduite. C’est le cas d’une variable X d’espérance m non nulle et d’écart type σ ≠ 1. On est ramené au cas d’une variable centrée réduite, c’est-à-dire de moyenne nulle et d’écart type 1, en posant

en effet, E(Z) = 0 et σ(Z) = σ.

Exemple. Une variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne 5 et d’écart type 2. Trouver les probabilités pour que :

comme m = 5 et σ = 2,

• 
d’où Prob {X < 9} = F(2) = 0,977 2.

• 

• Prob {1 < X < 9} = Prob {X < 9} – Prob {X < 1} ;
Prob {X < 1} = Prob {Z < – 2} = F(– 2) = 1 – F(2) ;
d’où : Prob {1 < X < 9} = F(2) – 1[1 – F(2)] = 2F(2) – 1 = 0,954 4.
Le cas d’une variable non centrée et non réduite est le plus fréquent.

Champ d’application de la loi normale

Le champ d’application de la loi normale est assez vaste. Cependant, il faut bien se garder de considérer comme « anormale » une variable aléatoire dont la loi n’est pas celle de Laplace-Gauss.

Exemple d’application. Un employé travaille 250 jours par an. Son trajet pour se rendre au bureau dure en moyenne 43 mn avec un écart type de 3 mn 30 s. Il commence à 9 h et quitte son domicile à 8 h 10. Combien de jours par an doit-il s’attendre à être en retard ?

La durée du trajet, supposée être une variable gaussienne X d’espérance 43 et d’écart type 3,5, ne doit pas être supérieure à 50 ; notre employé est donc en retard si la probabilité d’un tel événement est 1 – F(2) = 0,022 8 ; d’où 250 × 0,022 8 = 5,7, soit six jours où il arrivera en retard.

E. S.

➙ Aléatoire (variable) / Binomiale (loi) / Enquête par sondages / Poisson (loi de) / Probabilités.

 B. V. Gnedenko et A. Ia. Khintchine, Introduction à la théorie des probabilités (Dunod, 1960 ; 3^e éd., 1969). / G. Calot, Cours de calcul des probabilités (Dunod, 1963 ; 2^e éd., 1967) ; Exercices de calculs des probabilités (Dunod, 1967). / L. Chambadal, Calcul des probabilités (Dunod, 1969).