Grande Encyclopédie Larousse 1971-1976Éd. 1971-1976
J

jeux (théorie des) (suite)

La théorie des probabilités permet de donner une forme mathématique à la science du comportement quand on connaît les probabilités des différents épisodes qui constituent le déroulement du jeu. La théorie des jeux essaie donc, à l’aide des probabilités ou d’autres notions, de construire un modèle représentant aussi bien que possible une activité humaine et permettant d’adopter un comportement. La différence essentielle entre un jeu, c’est-à-dire un modèle, et une activité humaine réside dans le fait qu’un jeu est limité dans le temps, alors que beaucoup d’activités humaines sont pratiquement illimitées, telle l’activité économique. Cette différence constitue un gros obstacle aux applications de la théorie des jeux à la vie réelle, à la science économique par exemple. Ainsi, quand on parlera d’un jeu, ce sera plutôt d’une « partie » de ce jeu, qui a un commencement et une fin.

Un jeu peut être considéré comme un schéma de caractère limité où sont en présence diverses volontés, sinon divers intérêts. Ces courants peuvent s’opposer, s’aider, s’entrecroiser, évoluer de façon plus ou moins autonome et avoir à leur disposition des moyens variés. Un jeu est une tragédie.


Théorie du duel

Le plus simple est de considérer que chacun des deux joueurs, A et B, a un nombre fini de tactiques à sa disposition. Chaque joueur a ainsi le choix entre différentes tactiques ou actions, qu’il apprécie comme il l’entend. On suppose de plus que le système tactique de chaque joueur est transitif, c’est-à-dire que, si la tactique a est préférée à la tactique b et celle-ci préférée à une troisième, c, pour l’un des joueurs la tactique a est préférée à la tactique c, ce qu’on peut noter a > b et b > c, alors a > c.

On peut indiquer les tactiques des deux joueurs A et B dans un tableau dit « à double entrée » (fig. 1), celles de A en ligne et celles de B en colonne, chaque case du tableau correspondant ainsi à une issue. Selon leurs appréciations personnelles, les deux joueurs sont tantôt en accord sur une situation particulière (case du tableau), tantôt en désaccord. On envisage ici le cas où les jugements sont toujours opposés, c’est-à-dire le cas du désaccord total ou de la lutte pure.

Le système de préférences de A est transitif et totalement ordonné. Comme A et B sont opposés dans leurs jugements, la connaissance du système de préférences de A entraîne celle du système de B ; il suffit de renverser l’ordre et, si a > b pour le joueur A, on a b > a pour le joueur B. On peut affecter à chacune des issues (cases du tableau) un nombre, ou numéro, qui indique le degré de préférence de ces issues pour l’un des joueurs ; pour l’autre joueur, l’ordre est contraire. Il se peut que certaines cases aient le même indice de préférence (ou d’utilité), s’il est indifférent de se trouver dans l’une ou l’autre de ces cases.

Les indices des cases correspondent au jugement porté par le joueur A sur ces issues, le numéro le plus élevé correspondant à la situation préférée. Pour le joueur B, la situation préférée est donc celle qui a l’indice le plus faible.

Chacun des joueurs peut adopter une tactique défensive et raisonner de la façon suivante. Si A est renseigné sur la tactique de B, c’est-à-dire sur la ligne que choisira B (ce qui est le cas si B joue le premier), il choisira, dans cette ligne, la case d’indice le plus élevé. Mais B est capable de faire ce raisonnement et sa tactique « défensive » consistera à jouer la ligne dont la case d’indice le plus élevé est le plus faible possible ; il cherchera la ligne dont le maximum est minimal, le minimum maximorum ; sur la figure 2, il jouera la ligne r, car (rd) = 9. Si, au contraire, B est renseigné sur la tactique de A, obligé de se découvrir en premier, alors c’est A qui recherchera la colonne dont l’indice minimal est le plus grand possible, car il sait que B l’amènera dans la case de plus faible indice dans la colonne choisie par A : la tactique défensive de A sera de rechercher le maximum minimorum ; il jouera la colonne a, car (fig. 2)
(ap) = 5.

Il arrive, ce qui n’est pas toujours raisonnable, que chaque joueur adopte systématiquement la tactique défensive, car il pense qu’il ne peut ruser avec une bonne probabilité de tromper son adversaire. Dans ce cas, les deux tactiques défensives conduisent les deux joueurs dans la même case. Ce sera le cas de la figure 3, où les deux joueurs viendront sur la case 7, 7 = (cq) = (qc), car 7 est le plus petit des maximums sur une ligne et c’est le plus grand des minimums sur une colonne. Une telle issue s’appelle un col. Si l’on représentait les indices des cases par des piles de cubes proportionnelles à ces indices, on aurait effectivement pour la figure 3 une représentation en col de montagne : maximum pour un déplacement dans un certain azimut, minimum dans l’azimut perpendiculaire au premier. Ainsi, quand un col existe, les joueurs tendent à s’y installer, bien que chacun ne désire qu’en sortir ; mais, pour cela, il faut tromper l’adversaire, ce qui devient plus difficile à mesure que le jeu avance, car les individus se connaissent de mieux en mieux. La ruse s’élimine peu à peu, et la prudence augmente. De plus, dans certains jeux, la ruse est complètement éliminée par la nature du jeu : dames, échecs, où le jeu est connu des deux adversaires. En revanche, aux cartes, la ruse intervient ; au poker surtout, où le « bluff », que les bons joueurs connaissent bien et qu’ils utilisent à bon escient, joue un très grand rôle.


Théorie de la ruse

Une condition nécessaire pour que la ruse puisse être utilisée est que l’information de chacun des deux joueurs soit incomplète. Dans ce cas, la ruse consiste à chercher à deviner les intentions de l’adversaire sans laisser deviner les siennes propres : ruse positive et ruse négative. La tactique de chaque joueur doit être très souple, et une même ruse ne peut être employée plusieurs fois, car elle deviendrait une tactique et se retournerait contre celui qui l’utilise. Le joueur est amené à modifier son jeu selon les réactions de l’adversaire, en faisant des choix qui sont aléatoires sur des situations dont les issues sont elles-mêmes aléatoires : d’où des probabilités de probabilités.