Grande Encyclopédie Larousse 1971-1976Éd. 1971-1976
I

Investitures (querelle des) (suite)

Pascal II, qui vient d’obtenir en 1105 la renonciation du roi d’Angleterre, Henri Ier (1100-1135), à l’investiture par la crosse et par l’anneau, réussit à faire reconnaître en 1107 par le roi de France, Philippe Ier (1060-1108), le principe de la liberté des élections épiscopales, qui a pour conséquence l’adoption du système de la double investiture : spirituelle par le métropolitain, temporelle par le souverain. Préconisé par le canoniste Yves de Chartres (v. 1040-1116), ce système est finalement appliqué dans le Saint Empire, aux termes du concordat de Worms, signé le 23 septembre 1122 par Henri V et par le pape Calixte II (1119-1124), qui réserve au métropolitain l’investiture spirituelle par l’anneau et par la crosse, laquelle doit précéder l’investiture par le sceptre des biens et des fonctions politiques (regalia) attachées à la charge épiscopale : c’est l’investiture temporelle, à laquelle procède le souverain, qui, en cas de contestation, peut arbitrer en faveur du candidat le plus digne. Ainsi s’achève la querelle des Investitures, bientôt relayée par celle du Sacerdoce* et de l’Empire.

P. T.

➙ Grégoire VII / Papauté / Sacerdoce et de l’Empire (querelle du) / Saint Empire romain germanique.

 A. Fliche, la Réforme grégorienne (Champion, 1924-1927 ; 3 vol.). / J. Gay, les Papes du xie siècle et la chrétienté (Gabalda, 1926). / M. Pacaut, la Théocratie, l’Église et le pouvoir au Moyen Âge (Aubier, 1957).

involution, ou correspondance involutive

Toute relation de la forme Axx′ + B(x + x′) + C = 0 entre deux variables x et x′ de même nature.


Une relation involutive est une relation homographique particulière : les coefficients des termes du premier degré en x et x′ sont égaux. La relation est donc symétrique par rapport aux deux variables. Par suite, si l’on donne à x la valeur a, x′ prend la valeur b telle que Aab + B(a + b) + C = 0, c’est-à-dire

mais, si l’on donne à x la valeur b, x′ prend la valeur

ce qui est égal à a d’après la relation
Aab + B(a + b) + C = 0.
Cette propriété de symétrie caractérise la relation involutive : une relation homographique est involutive si, à une valeur particulière a de l’une des variables, correspond une valeur b de l’autre variable, quelle que soit la variable à laquelle on attribue la valeur a.

Une correspondance involutive est donc déterminée par deux couples de valeurs homologues seulement. En effet, si (aa′) et (bb′) sont deux tels couples, (a′, a) et (b′, b) sont aussi des couples de valeurs homologues, en raison de la symétrie. Pour trouver la relation entre une valeur quelconque x et son homologue x′, il suffit d’écrire, par exemple, que le birapport des quatre nombres a, a′, b et x est égal à celui des nombres a′, a, b′ et x′ :
(a, a′, b, x) = (a′, a, b′, x) ;
la conservation du birapport est en effet caractéristique de la relation homographique ; celle qui vient d’être écrite est, de plus, symétrique, puisque au nombre a correspond le nombre a′ et inversement ; c’est donc une involution.


Divisions en involution

Il est intéressant d’étudier la correspondance, sur un axe, des points M et M′ d’abscisses x et x′ liées par une correspondance involutive. On dit que M et M′ décrivent des divisions en involution.

• La relation Axx′ + B(x + x′) + C = 0 s’écrit

Elle est dite « propre » si B2 – AC ≠ 0 ; dans ce cas, les variables x et x′ peuvent prendre toute valeur réelle.

• Les points doubles sont fournis par l’équation
Ax2 + 2Bx + C = 0
et sont distincts si la relation est propre, car le discriminant de l’équation, B2 – AC, est non nul.

• Quand l’une des variables devient infinie, l’autre tend vers abscisse du point central I. La forme réduite de la relation involutive devient alors

Les points doubles P et Q sont tels que

par suite, ils sont réels si B2 – AC > 0 et symétriques par rapport au point I.


Division harmonique

Sur un axe xx, quatre points A, B, C et D forment une division harmonique si le birapport (abcd) de leurs abscisses est égal à – 1 :

ou
que l’on peut aussi écrire
ou encore
que l’on peut considérer comme la première forme de la relation d’harmonicité.

• En rendant entière l’égalité

on obtient (a + b)(c + d) = 2(ab + cd) ; on voit que les couples (ab) et (cd) y jouent des rôles symétriques.

• Si l’on prend comme origine le point A, a = 0 ; on obtient alors b(c + d) = 2cd, et, en divisant par le produit bcd,

mais puisque l’origine est en A ; d’où la nouvelle forme de la relation d’harmonicité

qui est la forme de Descartes ; on a d’ailleurs aussi

• Si l’on prend comme origine le point I milieu de AB, on a les égalités d’où la relation ab + cd = 0, ou a2 = cd, ce qui s’écrit c’est la forme de Newton. Elle montre que les points C et D sont homologues dans l’involution de points doubles A et B, de point central I. Ainsi, deux points homologues d’une correspondance involutive sont conjugués harmoniques par rapport aux deux points doubles. De plus, le birapport des deux points doubles et de deux points homologues est constant et égal à – 1 puisque (abcd) = – 1. Cette propriété caractérise une involution.


Faisceau harmonique

Le faisceau (OX, OY, OZ, OT) de quatre droites d’un même plan est dit « harmonique » s’il détermine sur une droite quelconque une division harmonique ; il détermine alors sur n’importe quelle autre droite une division harmonique. Si deux rayons conjugués (passant par deux points conjugués) sont perpendiculaires, ils sont les bissectrices des angles formés par les deux autres ; la réciproque est exacte.

E. S.

➙ Homographie / Transformation.

 R. Deltheil et D. Caire, Compléments de géométrie (Baillière, 1951). / G. Cagnac, E. Ramis et J. Commeau, Nouveau Cours de mathématiques générales, t. III : Géométrie (Masson, 1963).