analyse (suite)
La méthode même d’Archimède permit à Ludolf Van Ceulen (1540-1610) de calculer π avec 33 décimales exactes et, en 1573, à Valentin Otho (v. 1550 - v. 1605), ainsi qu’en 1586, à Adriaan Anthonisz (v. 1527-1607), d’en donner l’excellente approximation par excès 
. Déjà, le mathématicien chinois Tsou Tch’ang Tche (430-501) avait déduit cette approximation de l’encadrement
3,141 592 6 < π < 3,141 592 7.
En 1593, François Viète fournit le premier algorithme illimité du calcul du nombre π : Le rapport de l’aire du carré inscrit à l’aire du cercle s’obtient par une suite illimitée obtenue en posant
En 1656, John Wallis (1616-1703) donne le résultat suivant :
Lord William Brouncker (v. 1620-1684) donne pour le même nombre une fraction continue illimitée. Nicolaus Kaufmann, dit Mercator (v. 1620-1687), James Gregory (1638-1675), sir Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) trouvent des expressions par des séries, dont la plus célèbre est
Volumes de la pyramide, du cône et de la sphère
Archimède nous apprend que la matière du livre XII des Éléments d’Euclide est due à Eudoxe, qui eut en l’occurrence pour précurseur Démocrite (v. 460 - v. 370 av. J.-C.). Eudoxe y montre que les cercles sont entre eux comme les carrés — et les sphères comme les cubes — de leurs diamètres. Il établit de plus, de façon rigoureuse, qu’une pyramide ou un cône est le tiers du prisme ou du cylindre de même base et de même hauteur. Pour ce faire, il lui faut utiliser des procédés illimités d’approximation, en l’occurrence des séries géométriques de raison 1/4. On s’est longtemps demandé si des procédés finis n’auraient pas suffi, mais Raoul Bricard (1870-1944) a établi, en 1896, que seules les méthodes infinitésimales étaient ici efficaces. Avec Archimède, ces méthodes vont donner toute leur mesure et s’amélioreront. Il détermine le rapport entre le volume de la sphère et celui du cylindre circonscrit 
, le rapport entre l’aire de la sphère et celui de son grand cercle (4), les volumes des quadriques convexes de révolution, l’aire de la parabole et celle de l’ellipse. Il définit le centre de gravité d’une aire plane et celui d’un volume convexe, et il trouve ceux du segment de parabole et des segments de ses quadriques. Il définit sa spirale, dont il place la tangente et trouve l’aire. Surtout, il donne aux mathématiciens futurs les techniques essentielles du calcul infinitésimal.
Les indivisibles
Des siècles s’écoulent, où les progrès en la matière sont lents et insignifiants, lorsqu’on ne doit pas déplorer des retours en arrière, ou le grand silence de l’oubli. Cependant, les scholastiques du xive s. apportent quelques idées fructueuses. Dans son ouvrage De latitudine formarum, Nicole d’Oresme (v. 1325-1382) donne une représentation graphique des fonctions (le mot n’est pas encore inventé) dans un repère cartésien. Il s’intéresse aux séries et démontre que la série harmonique
est divergente. Mais il faut attendre le xviie s. pour que les Occidentaux assimilent vraiment l’œuvre d’Archimède, puis la dépassent.
Johannes Kepler (1571-1630) utilise dès 1615, avec quelque désinvolture, des procédés infinitésimaux de cubature, mais l’ouvrage qui marque le début de l’ère nouvelle est la Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota, que donna en 1635 le P. Bonaventura Cavalieri (1598-1647), disciple indirect de Galilée. S’il se pique de rigueur, sa méthode des indivisibles n’en reste pas moins contestable. À la même époque, en France, René Descartes (1596-1650), Pierre de Fermat (1601-1665) et Gilles Personne de Roberval (1602-1675) obtiennent des résultats remarquables. En Italie, Evangelista Torricelli (1608-1647) améliore pour sa part les méthodes de son compatriote et, au milieu du siècle, des résultats essentiels sont acquis : à savoir (en notations modernes) que l’on sait intégrer xa pour toute valeur de a rationnelle différente de – 1, et que pour x–1 on voit le lien avec les logarithmes connus depuis 1614. On connaît aussi, grâce surtout à Roberval et Torricelli, et à leurs études sur la cycloïde, les primitives de xm cosn x pour les premières valeurs des exposants m et n. Tout cela, toutefois, s’exprime dans une langue purement géométrique.
Les problèmes direct et inverse des tangentes
Cependant, l’école française jetait les bases de la géométrie analytique, qu’en 1637 faisait connaître la Géométrie de René Descartes. Les trois analystes français (Descartes, Fermat et Roberval) donnaient des procédés de construction des tangentes aux courbes. Le plus typique est celui de Fermat. La courbe d’équation P(x, y) = 0, où P est un polynôme, partage le plan en deux régions ; l’extérieur, où P(x, y) est positif, l’intérieur, où il est négatif. Pour exprimer que la droite y = ax + b est tangente à la courbe au point x0, y0 [P(x0, y0) = 0], il suffira d’exprimer qu’en x0 le polynôme P(x, ax + b) passe par le minimum zéro, ce qui permettra de trouver a et b. Quant au problème auquel il ramène celui des tangentes, Fermat donne la solution suivante : Si une fonction rationnelle R(x) passe par un extrémum en x0, et si a est proche de x0, mais différent, l’équation R(x) = R(a) admet deux racines a et a + e, telles que x0 soit compris entre elles. Posons donc R(a + e) = R(a), et ordonnons par rapport à e. La variable e se met en facteur. Simplifions par e. Il vient une équation de la forme T(a, e) = 0. Faisons enfin e = 0, les racines de T(a, 0) = 0 donnent les extrémums cherchés. Les fondements du calcul différentiel sont posés. En 1645, Roberval trouve ses quadratrices, qui établissent un lien entre le problème des tangentes et celui des quadratures, ou calcul des aires. Quant au problème inverse des tangentes, il consiste à trouver une courbe dont on donne une propriété tangentielle. Il se posait déjà pour Kepler en 1604, dans ses recherches d’optique, comme il se posa pour Descartes, toujours en optique, dans la découverte des ovales qui portent son nom. La définition des logarithmes par John Napier (1550-1617) est une question du même ordre, mais le problème le plus célèbre est ici celui que proposa en 1638 Florimond de Beaune (1601-1652).