hermitien (espace) (suite)
Propriétés des matrices hermitiennes
Si une matrice H est hermitienne, elle est nécessairement carrée ; les éléments symétriques par rapport à la diagonale principale sont conjugués ; s’ils sont réels, ils sont égaux ; les éléments de la diagonale principale sont réels. Si la matrice H est réelle, elle est symétrique.
• Les valeurs propres d’une matrice hermitienne sont réelles.
Soit H une matrice hermitienne, un vecteur (de En) propre de H pour la valeur propre s : Hu = su,
De l’égalité Hu = su, on tire u+Hu = u+su = su+u ;
puis, en prenant les conjugués : et, en transposant :
puisque H+ = H ; d’où su+u = su+u, ou
Mais par suite, ou ce qui exprime que s est réelle.
• Les vecteurs propres correspondant à deux valeurs propres distinctes et rapportés à une base orthonormée sont orthogonaux.
En effet, si et sont deux vecteurs propres de H pour les valeurs propres s1 et s2, de matrices
on a Hu = s1u et Hv = s2v ;
d’où v+Hu = s1v+u et u+Hv = s2u+v.
En prenant les conjugués, puis les transposés des deux membres de u+Hv = s2u+v, on obtient successivement :
puisque H = H+ ; en retranchant alors membre à membre les deux égalités
mais et s2 ≠ s1, puisqu’on a choisi deux valeurs propres distinctes ; il en résulte que
la base étant orthonormée. Les deux vecteurs et sont donc orthogonaux au sens hermitien.
• Une matrice hermitienne est diagonalisable. De plus, il existe au moins une matrice unitaire U telle que U–1HU soit diagonale.
Il y a identité, pour une base donnée, entre l’espace hermitien réel et l’espace euclidien réel. Les matrices hermitiennes sont alors les matrices symétriques réelles, et les matrices unitaires sont les matrices orthogonales. Toutes les propriétés démontrées sur les matrices hermitiennes s’appliquent donc aux matrices symétriques réelles. Le produit scalaire hermitien devient le produit scalaire que l’on utilise, par exemple, dans ℝ3.
E. S.
➙ Espace / Géométrie / Groupe / Matrice / Norme / Vectoriel.
A. Lichnerowicz, Algèbre et analyse linéaire (Masson, 1956). / R. Deltheil, Nouveaux Éléments de mathématiques générales (Baillière, 1958). / A. Warusfel, Dictionnaire raisonné de mathématiques (Éd. du Seuil, 1966). / H. Blanchard et C. Forest, Traité de mathématiques, t. III (Hachette, 1969). / J. Lelong-Ferrand, J. M. Arnaudiès, Cours de mathématiques ; t. I : Algèbre, MP Spéciales A′ A (Dunod, 1971).